Question

19．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C對邊的邊長分別是a，b，c，已知c=2，$\sqrt{3}a=2csinA$
（1）求角C
（2）若△ABC的面積等于$\sqrt{3}$，求a，b； 
（3）求△ABC的面積最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及正弦定理可得$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，結(jié)合sinA≠0，可得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由于△ABC為銳角三角形，可求C=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理及已知條件，得a²+b²-ab=4，又$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，得ab=4．聯(lián)立即可解得a，b的值．
（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立），利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\sqrt{3}a=2csinA$，
∴$\sqrt{3}sinA=2sinCsinA$，…2分
∵A∈（0，π），
∴sinA≠0，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵△ABC為銳角三角形，
∴C=$\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，c=2，由余弦定理及已知條件，得a²+b²-ab=4，①…（7分）
又因?yàn)椤鰽BC的面積等于$\sqrt{3}$，
所以$\frac{1}{2}$absinC=$\sqrt{3}$，得ab=4．②…（8分）
聯(lián)立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，…（11分）
（3）由①可得：4+ab≥2ab，即ab≤4（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時等號成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，即當(dāng)a=b=2時，△ABC的面積的最大值等于$\sqrt{3}$，…（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．