Question

11．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，享有“數(shù)學(xué)王子”之稱，以他的名字“高斯”命名的成果達(dá)110個，設(shè)x∈R，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，并用{x}=x-[x]表示x的非負(fù)純小數(shù)，則y=[x]稱為高斯函數(shù)，已知數(shù)列{a_n}滿足：${a_1}=\sqrt{3}，{a_{n+1}}=[{a_n}]+\frac{1}{{\left\{{a_n}\right\}}}，（n∈{N^*}）$，則a₂₀₁₇=$3024+\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由于：${a_1}=\sqrt{3}，{a_{n+1}}=[{a_n}]+\frac{1}{{\left\{{a_n}\right\}}}，（n∈{N^*}）$，經(jīng)過計算可得：數(shù)列{a_2k-1}成等差數(shù)列，首項為$\sqrt{3}$，公差為3．即可得出．

解答 解：滿足：${a_1}=\sqrt{3}，{a_{n+1}}=[{a_n}]+\frac{1}{{\left\{{a_n}\right\}}}，（n∈{N^*}）$，
∴a₂=1+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=2+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
a₃=2+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=3+$\sqrt{3}$=4+（$\sqrt{3}$-1），
a₄=4+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=5+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
a₅=5+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=6+$\sqrt{3}$=7+（$\sqrt{3}$-1）．
a₆=7+$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$=8+$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
a₇=8+$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$=9+$\sqrt{3}$=10+（$\sqrt{3}$-1），
…，
可得：數(shù)列{a_2k-1}成等差數(shù)列，首項為$\sqrt{3}$，公差為3．
則a₂₀₁₇=$\sqrt{3}$+3×（1009-1）=3024+$\sqrt{3}$．
故答案為：$3024+\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項公式、歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．