Question

19．某電影院共有1000個座位，票價不分等次，根據(jù)電影院的經(jīng)營經(jīng)驗，當每張票價不超過10元時，票可全部售出；當票價高于10元時，每提高1元，將有30張票不能售出．為了獲得更好的收益，需要給電影院一個合適的票價，基本條件是：①為了方便找零和算賬，票價定為1元的整數(shù)倍；②電影院放映一場電影的成本是5750元，票房收入必須高于成本．用x（元）表示每張票價，用y（元）表示該電影放映一場的純收入（除去成本后的收入）．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）票價定為多少時，電影放映一場的純收入最大？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設每張票價為x元，通過當x≤10時，求出y=1000x-5750，利用1000x-5750＞0得x≥6，當x＞10時，求出y=-30x²+1300x-5750，得到10＜x≤38，寫出函數(shù)的解析式．
 （Ⅱ）利用分段函數(shù)的解析式分別求解函數(shù)的最值．

解答 （Ⅰ）解：設每張票價為x元
當x≤10時，y=1000x-5750（2分）
由1000x-5750＞0得：x＞5.75，又x是整數(shù)，∴x≥6（3分）
當x＞10時，y=[1000-30（x-10）]-5750=-30x²+1300x-5750      （5分）
由-30x²+1300x-5750＞0得：5＜x＜38$\frac{1}{3}$，∴10＜x≤38（6分）
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{1000x-5750，6≤x≤10，x∈N}\\{-{x}^{2}+1300x-5750，10＜x≤38，x∈N}\end{array}\right.$      （8分）
 （Ⅱ）解：若x≤10，y=1000x-5750是增函數(shù)，∴x=10時，y有最大值4250（9分）
若x＞10，y=-30x²+1300x-5750，x=$-\frac{1300}{2×（-30）}$=$21\frac{2}{3}$時，y最大（10分）
又x是整數(shù)，當x=21時，y=8320，當x=22時，y=8330
∴每張票價定為22元時，放映一場的純收入最大．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，分段函數(shù)的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．