Question

15．已知過拋物線x²=4y焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在第一象限），若$\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{FB}$，則直線的方程為（　　）

• A． $\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$
• B． $x-\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0$
• C． $x-\sqrt{3}y-1=0$
• D． $\sqrt{3}x-y+1=0$

Answer 1

分析 根據(jù)直線方程可知直線恒過定點(diǎn)F（0，1），過A、B分別作BQ⊥l于Q，AP⊥l于P，BC⊥AP，垂足為C，由|AF|=3|FB|，則|AP|=3|BQ|，進(jìn)而求得直線的斜率．

解答 解：設(shè)拋物線C：x²=4y的準(zhǔn)線為l：y=-1，焦點(diǎn)F（0，1）
設(shè)直線AB：y=kx+1（k＞0）
過A、B分別作AP⊥l于P，BQ⊥l于Q，BC⊥AP，垂足為C，
由|AF|=3|FB|=3m，則|AP|=3|BQ|=3m，∴|AC|=2m，|AB|=4m，|BC|=2$\sqrt{3}$m
∴k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則直線AB的方程：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1，整理得：x-$\sqrt{3}$y+$\sqrt{3}$=0，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，考查了對拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．