Question

11．（1）求函數f（x）=sin²x+cosx+1，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的值域．
（2）求函數$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定義域和單調區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）化簡f（x）為cosx的二次函數，用換元法令t=cosx，從而求出f（x）的值域；
（2）根據正切函數的定義域和單調性，即可求出函數$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定義域和單調增區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）=1-cos²x+cosx+1
=-cos²x+cosx+2，
令t=cosx，則t∈[0，1]，
則 y=-t²+t+2，t∈[0，1]；
所以當t=0或1時，y_min=2；
當$t=\frac{1}{2}$時，${y_{max}}=\frac{9}{4}$；
所以f（x）的值域是$[2，\frac{9}{4}]$；
（2）∵函數$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$，
令$\frac{x}{2}+\frac{π}{3}≠\frac{π}{2}+kπ$，
解得$x≠\frac{π}{3}+2kπ，k∈z$；
所以$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$的定義域為$\left\{{\left.x\right|x≠\frac{π}{3}+2kπ，k∈z}\right\}$；
令$t=\frac{x}{2}+\frac{π}{3}$，
由y=tant在$（{-\frac{π}{2}+kπ，\frac{π}{2}+kπ}）$，k∈Z內單調遞增，
令-$\frac{π}{2}$+kπ＜$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
解得-$\frac{5π}{3}$+2kπ＜x＜$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z，
所以$y=tan（\frac{x}{2}+\frac{π}{3}）$在（-$\frac{5π}{3}$+2kπ，$\frac{π}{3}$+2kπ），k∈Z上單調遞增．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了求復合函數的值域問題，是基礎題目．