Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{x-3}$的圖象過點（0，-1）．
（1）求實數(shù)a的值；
（2）若f（x）=m+$\frac{n}{x-3}$（m，n是常數(shù)），求實數(shù)m，n的值；
（3）用定義法證明：函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）、由函數(shù)圖象過點（0，-1），可得-1=$\frac{0+a}{0-3}$，解可得a的值；
（2）、由（1）可得a的值，代入可得f（x）=$\frac{x+3}{x-3}$=$\frac{（x-3）+6}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，結(jié)合題意，可得m+$\frac{n}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，比較分析可得m、n的值；
（3）、由（2）可得函數(shù)的解析式為f（x）=1+$\frac{6}{x-3}$，設(shè)x₁＞x₂＞3，用作差法可得f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{6}{{x}_{1}-3}$）-（1+$\frac{6}{{x}_{2}-3}$）=$\frac{6}{{x}_{1}-3}$-$\frac{6}{{x}_{2}-3}$=$\frac{6（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$，分析（x₁-3）、（x₂-3）和（x₂-x₁）的符號，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，由函數(shù)單調(diào)性的定義可得證明．

解答 解：（1）根據(jù)題意，已知函數(shù)f（x）=$\frac{x+a}{x-3}$的圖象過點（0，-1），
則有-1=$\frac{0+a}{0-3}$，解可得a=3，
（2）由（1）可得，a=3，則f（x）=$\frac{x+3}{x-3}$=$\frac{（x-3）+6}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，
若f（x）=m+$\frac{n}{x-3}$，
即m+$\frac{n}{x-3}$=1+$\frac{6}{x-3}$，
則必有m=1，n=6；
（3）證明：由（2）可得，f（x）=1+$\frac{6}{x-3}$，
設(shè)x₁＞x₂＞3，
則f（x₁）-f（x₂）=（1+$\frac{6}{{x}_{1}-3}$）-（1+$\frac{6}{{x}_{2}-3}$）=$\frac{6}{{x}_{1}-3}$-$\frac{6}{{x}_{2}-3}$=$\frac{6（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-3）（{x}_{2}-3）}$，
又由x₁＞x₂＞3，則（x₁-3）＞0，（x₂-3）＞0，（x₂-x₁）＜0，
故f（x₁）-f（x₂）＜0，
故函數(shù)f（x）在（3，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．

點評 本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明，涉及函數(shù)的解析式的求法，關(guān)鍵是求出a的值．