Question

19．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ） 證明：PA⊥BD；
（Ⅱ） 設(shè)PD=AD=1，求直線PC與平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在△ABD中，由已知結(jié)合余弦定理可得BD²=3AD²，進一步得到AB²=AD²+BD²，可得BD⊥AD．再由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BD．由線面垂直的判定可得
BD⊥平面PAD，則PA⊥BD；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，知∠PCD為PC與平面ABCD所稱的角．在Rt△BAD中，求解直角三角形得AB=2，則DC=2，則tan∠PCD可求．

解答 （Ⅰ）證明：在△ABD中，∠DAB=60°，AB=2AD，
由余弦定理可得：BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cos∠DAB，
∴BD²=5AD²-2AD²=3AD²，則AB²=AD²+BD²，即BD⊥AD．
又PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BD．
∵PD∩AD=D，∴BD⊥平面PAD，則PA⊥BD；
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，∴∠PCD為PC與平面ABCD所稱的角．
在Rt△BAD中，AD=1，∠DAB=60°，
∴AB=2，則DC=2，
∴tan∠PCD=$\frac{PD}{DC}=\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查空間想象能力和思維能力，屬中檔題．