Question

5．如圖所示，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且 PA=AB=2，AC=1，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）求二面角E-AC-B的大�。�

Answer 1

分析 由已知得PA⊥AC，PA⊥AB，且AC⊥AB．以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系； 
（1）設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，由$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{{n}_{1}}=2-2=0$，得PB∥平面AEC
（2）求出平面BAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，由（1）知：平面AEC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，1，1）$，
設(shè)二面角E-AC-B的平面角為θ（為θ鈍角），cosθ-=|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{AP}$＞|，可得二面角E-AC-B的大小

解答 解：∵PA平面ABCD，AB，AC?平面ABCD
∴PA⊥AC，PA⊥AB，且AC⊥AB．
以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系； （2分）
（1）證明：∵D（1，-2，0），P（0，0，2）∴E（$\frac{1}{2}，-1，1）$，
∴$\overrightarrow{AE}=（\frac{1}{2}，-1，1）$，$\overrightarrow{AC}=（1，0，0）$，
設(shè)平面AEC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}x-y+z=0}\\{x=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，1，1）$．
又B（0，2，0），所以 $\overrightarrow{PB}=（0，2，-2）$
∵$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{{n}_{1}}=2-2=0$，∴$\overrightarrow{PB}⊥\overrightarrow{n}$，又PB?平面AEC，
因此：PB∥平面AEC．（6分）
（2）∵平面BAC的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，
由（1）知：平面AEC的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（0，1，1）$，
設(shè)二面角E-AC-B的平面角為θ（為θ鈍角），則
cosθ=-|cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{AP}$＞|=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得：θ=$\frac{3π}{4}$
所以二面角E-AC-B的大小為$\frac{3π}{4}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間線面平行的判定，及向量法求二面角，屬于中檔題．