Question

14．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知$\frac{cosB-2cosA}{cosC}$=$\frac{2a-b}{c}$
（Ⅰ）若b=2，求a的值；
（Ⅱ）若角A是鈍角，且c=3，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知等式利用正弦定理化邊為角，結(jié)合兩角和的正弦可得sin（B+C）=2sin（A+C）．進(jìn)一步得到sinA=2sinB，可得a=2b．則答案可求；
（Ⅱ）利用余弦定理結(jié)合a=2b可得b＞$\sqrt{3}$．再由兩邊之和大于第三邊可得b＜3．

解答 解：（Ⅰ）由題意及正弦定理，得$\frac{cosB-2cosA}{cosC}=\frac{2sinA-sinB}{sinC}$，
即sinCcosB-2sinCcosA=2sinAcosC-sinBcosC，
則sinCcosB+sinBcosC=2（sinCcosA+sinAcosC），
∴sin（B+C）=2sin（A+C）．
∵△ABC中，A+B+C=π，
∴sinA=2sinB，故a=2b．
由b=2，得a=4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a=2b，由余弦定理可得：
cosA=$\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}=\frac{^{2}+9-4^{2}}{6b}=\frac{9-3^{2}}{6b}$＜0，
則b＞$\sqrt{3}$．
在△ABC中，b+c＞a，即b+3＞2b，則b＜3．
∴b的取值范圍為（$\sqrt{3}，3$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的解法，考查余弦定理及正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．