Question

10．（1）證明兩角和的余弦公式C_α+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
（2）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知$\overrightarrow{AB}\;•\;\overrightarrow{BC}=-\;\frac{65}{2}$，$cosB=\frac{13}{14}$，b=3．求a，c（a＞c）

Answer 1

分析 （1）建立單位圓，在單位圓中作出角，找出相應(yīng)的單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量的數(shù)量積公式化簡整理既得；
（2）與條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積的定義求得ac=35，再利用余弦定理求得a²+c²=74，再根據(jù)a＞c可得a和c的值．

解答 解：（1）證明：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，
作一單位圓，再以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，
x軸非負(fù)半軸為始邊分別作角α，β．
設(shè)它們的終邊分別交單位圓于點(diǎn)A（cosα，sinα），
B（cos（-β），sin（-β））
即有兩單位向量$\overrightarrow{OA}$=（cosα，sinα），$\overrightarrow{OB}$=（cosβ，-sinβ），
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=cosαcosβ-sinαsinβ，
∵$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$|•|$\overrightarrow{OB}$|•cos（α+β），且|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=1，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
（2）∵$\overrightarrow{AB}\;•\;\overrightarrow{BC}=-\;\frac{65}{2}$，$cosB=\frac{13}{14}$，b=3．
∴$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{65}{2}$
∴accosB=$\frac{65}{2}$，
又cosβ=$\frac{13}{14}$，
∴ac=35
由余弦定理：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{13}{14}$
∴a²+c²=74，由ac=35，a＞c，
解得a=7，c=5．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，利用三角函數(shù)的性質(zhì)合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．