Question

13．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}+ax-b$在區(qū)間[-1，1]上為增函數(shù)，則在區(qū)間[0，1]上任意取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，使f（x）在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)的概率為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{6}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{7}{8}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$

Answer 1

分析 由題意知本題是一個(gè)幾何概型，根據(jù)所給的條件很容易做出試驗(yàn)發(fā)生包含的事件對(duì)應(yīng)的面積，而滿足條件的事件是函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x³+ax-b在區(qū)間[-1，1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求出導(dǎo)函數(shù)，看出函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，有零點(diǎn)等價(jià)于在自變量區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處函數(shù)值符號(hào)相反，得到條件，做出面積，根據(jù)幾何概型概率公式得到結(jié)果．

解答 解：由題意知本題是一個(gè)幾何概型，
∵a∈[0，1]，
∴f'（x）=1.5x²+a≥0，
∴f（x）是增函數(shù)若在[-1，1]有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則f（-1）•f（1）≤0
∴（-0.5-a-b）（0.5+a-b）≤0，即（0.5+a+b）（0.5+a-b）≥0，
a看作自變量x，b看作函數(shù)y，
由線性規(guī)劃內(nèi)容知全部事件的面積為1×1=1，滿足條件的面積為$\frac{7}{8}$，
∴概率為$\frac{\frac{7}{8}}{1}$=$\frac{7}{8}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題是一個(gè)幾何概型，對(duì)于這樣的問題，一般要通過把試驗(yàn)發(fā)生包含的事件同集合結(jié)合起來，根據(jù)集合對(duì)應(yīng)的圖形做出面積，用面積的比值得到結(jié)果．