【題目】已知拋物線y=﹣ +bx+c與y軸交于點(diǎn)C,與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(﹣4,0),B(1,0).

(1)求拋物線的解析式;
(2)已知點(diǎn)P在拋物線上,連接PC,PB,若△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)已知點(diǎn)E在x軸上,點(diǎn)F在拋物線上,是否存在以A,C,E,F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:拋物線的解析式為y=﹣ (x+4)(x﹣1),即y=﹣ x2 x+2;


(2)

解:存在.

當(dāng)x=0,y═﹣ x2 x+2=2,則C(0,2),

∴OC=2,

∵A(﹣4,0),B(1,0),

∴OA=4,OB=1,AB=5,

當(dāng)∠PCB=90°時(shí),

∵AC2=42+22=20,BC2=22+12=5,AB2=52=25

∴AC2+BC2=AB2

∴△ACB是直角三角形,∠ACB=90°,

∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),△PBC是以BC為直角邊的直角三角形,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0);

當(dāng)∠PBC=90°時(shí),PB∥AC,如圖1,

設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n,

把A(﹣4,0),C(0,2)代入得 ,解得

∴直線AC的解析式為y= x+2,

∵BP∥AC,

∴直線BP的解析式為y= x+p,

把B(1,0)代入得 +p=0,解得p=﹣ ,

∴直線BP的解析式為y= x﹣

解方程組 ,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣5,﹣3);

綜上所述,滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣4,0),P2(﹣5,﹣3);


(3)

解:存在點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(m,0),F(xiàn)(n,﹣ n2 n+2)

①當(dāng)AC為邊,CF1∥AE1,易知CF1=3,此時(shí)E1坐標(biāo)(﹣7,0),

②當(dāng)AC為邊時(shí),AC∥EF,易知點(diǎn)F縱坐標(biāo)為﹣2,

∴﹣ n2 n+2=﹣2,解得n= ,得到F2 ,﹣2),F(xiàn)3 ,﹣2),

根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到: = =

解得m=

此時(shí)E2 ,0),E3 ,0),

③當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí),AE4=CF1=3,此時(shí)E4(﹣1,0),

綜上所述滿(mǎn)足條件的點(diǎn)E為(﹣7,0)或(﹣1,0)或( ,﹣2)或( ,﹣2).


【解析】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、勾股定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí),解題的關(guān)鍵是構(gòu)建一次函數(shù)利用方程組解決點(diǎn)P坐標(biāo),學(xué)會(huì)分類(lèi)討論,學(xué)會(huì)用方程的思想解決問(wèn)題,屬于中考?jí)狠S題.
(1)因?yàn)閽佄锞經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣4,0),B(1,0),所以可以設(shè)拋物線為y=﹣ (x+4)(x﹣1),展開(kāi)即可解決問(wèn)題;
(2)先證明∠ACB=90°,點(diǎn)A就是所求的點(diǎn)P,求出直線AC解析式,再求出過(guò)點(diǎn)B平行AC的直線的解析式,利用方程組即可解決問(wèn)題;
(3)分AC為平行四邊形的邊,AC為平行四邊形的對(duì)角線兩種切線討論即可解決問(wèn)題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)MN⊥AB;
(2)若N為中點(diǎn),則MN與AD所成角為60°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;
(4)不存在點(diǎn)N,使得過(guò)MN的平面與AC垂直.
A.1
B.2
C.3
D.4

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