Question

3．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈（0，$\frac{π}{2}$））與圓C：（x-1）²+（y-2）²=4相交于點(diǎn)A，B，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．
（1）求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）求$\frac{1}{|OA|}$$+\frac{1}{|OB|}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈（0，$\frac{π}{2}$））可得極坐標(biāo)方程：θ=α，α∈（0，$\frac{π}{2}$）．圓C：（x-1）²+（y-2）²=4展開(kāi)可得：x²+y²-2x-4y+1=0，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈（0，$\frac{π}{2}$）代入上述圓的方程可得：t²-（2cosα+4sinα）t+1=0．利用$\frac{1}{|OA|}$$+\frac{1}{|OB|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$即可得出．

解答 解：（1）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈（0，$\frac{π}{2}$））化為普通方程：y=xtanα．α∈（0，$\frac{π}{2}$）．可得極坐標(biāo)方程：θ=α，α∈（0，$\frac{π}{2}$）
圓C：（x-1）²+（y-2）²=4展開(kāi)可得：x²+y²-2x-4y+1=0，可得極坐標(biāo)方程：ρ²-2ρcosθ-4ρsinθ+1=0．
（2）直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，α∈（0，$\frac{π}{2}$）代入上述圓的方程可得：t²-（2cosα+4sinα）t+1=0．
∴t₁+t₂=2cosα+4sinα，t₁•t₂=1．
∴$\frac{1}{|OA|}$$+\frac{1}{|OB|}$=$\frac{|{t}_{1}|+|{t}_{2}|}{|{t}_{1}{t}_{2}|}$=2cosα+4sinα=2$\sqrt{5}$sin（α+φ）≤2$\sqrt{5}$，φ=arctan$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{|OA|}$$+\frac{1}{|OB|}$的最大值為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式、直線的參數(shù)方程的應(yīng)用、直線與圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．