Question

11．設(shè)a＞1，若僅有一個(gè)常數(shù)c使得對(duì)于任意的x∈[a，3a]都有y∈[a，a³]滿(mǎn)足方程log_ax+log_ay=c，則a的取值組成的集合為{3}．

Answer 1

分析 由已知得y=$\frac{{a}^{c}}{x}$，單調(diào)遞減，從而得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{c}-1}{3}≥a}\\{{a}^{c-1}≤{a}^{3}}\end{array}\right.$，由此能求出a的取值的集合．

解答 解：∵log_ax+log_ay=c，
∴l(xiāng)og_a（xy）=c，∴xy=a^c，
解得y=$\frac{{a}^{c}}{x}$，單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x∈[a，3a]時(shí)，y∈[$\frac{{a}^{c}-1}{3}$，a^c-1]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{c}-1}{3}≥a}\\{{a}^{c-1}≤{a}^{3}}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{c≥3+lo{g}_{a}3}\\{c≤4}\end{array}\right.$，
∵有且只有一個(gè)常數(shù)c符合題意，∴3+log_a3=4，
解得a=3，∴a的取值的集合為{3}．
故答案為：{3}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值集合的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)數(shù)性質(zhì)、運(yùn)算法則的合理運(yùn)用．