【題目】已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)fx)的全體:存在非零常數(shù)T,對(duì)任意x∈R,有fx+T=Tfx)成立.

1)函數(shù)fx=x是否屬于集合M?說明理由;

2)設(shè)函數(shù)fx=axa0,且a≠1)的圖象與y=x的圖象有公共點(diǎn),證明:fx=ax∈M

3)若函數(shù)fx=sinkx∈M,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【答案】1fx=xM;(2)見解析(3{k|k=mπ,m∈Z}

【解析】

試題(1)將fx=x代入定義(x+T=Tfx)驗(yàn)證知函數(shù)fx=x不屬于集合M

2)由題意存在x∈R使得ax=x,由新定義知存在非零常數(shù)T使得aT=T,將函數(shù)關(guān)系式代入fx+T=Tfx)驗(yàn)證知fx=ax∈M

3)若函數(shù)fx=sinkx∈M,依據(jù)定義應(yīng)該有sinkx+kT=Tsinkx∈[11]對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立,故T=±1.將T=±1代入sinkx+kT=Tsinkxk的范圍即可.

解:(1)對(duì)于非零常數(shù)T,

fx+T=x+TTfx=Tx

因?yàn)閷?duì)任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,

所以fx=xM;

2)因?yàn)楹瘮?shù)fx=axa0a≠1)的圖象與函數(shù)y=x的圖象有公共點(diǎn),

所以方程組:有解,消去yax=x,

顯然x=0不是方程ax=x的解,所以存在非零常數(shù)T,使aT=T

于是對(duì)于fx=axfx+T=ax+T=aTax=Tax=Tfx)故fx=ax∈M;

3)當(dāng)k=0時(shí),fx=0,顯然fx=0∈M

當(dāng)k≠0時(shí),因?yàn)?/span>fx=sinkx∈M,所以存在非零常數(shù)T

對(duì)任意x∈R,有fx+T=Tfx)成立,

sinkx+kT=Tsinkx

因?yàn)?/span>k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,

于是sinkx∈[1,1]sinkx+kT∈[1,1]

故要使sinkx+kT=Tsinkx.成立,

只有T=±1,當(dāng)T=1時(shí),sinkx+k=sinkx成立,

k=2mπm∈Z

當(dāng)T=1時(shí),sinkxk=sinkx成立,

sinkxk+π=sinkx成立,

則﹣k+π=2mπ,m∈Z,即k=﹣(2m1πm∈Z

綜合得,實(shí)數(shù)k的取值范圍是{k|k=mπm∈Z}

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】黨的十九大明確把精準(zhǔn)脫貧作為決勝全面建成小康社會(huì)必須打好的三大攻堅(jiān)戰(zhàn)之一.為堅(jiān)決打贏脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn),某幫扶單位為幫助定點(diǎn)扶貧村脫貧,堅(jiān)持扶貧同扶智相結(jié)合,此幫扶單位考察了甲、乙兩種不同的農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)方式,現(xiàn)對(duì)兩種生產(chǎn)方式的產(chǎn)品質(zhì)量進(jìn)行對(duì)比,其質(zhì)量按測(cè)試指標(biāo)可劃分為:指標(biāo)在區(qū)間的為優(yōu)等品;指標(biāo)在區(qū)間的為合格品,現(xiàn)分別從甲、乙兩種不同加工方式生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品中,各自隨機(jī)抽取100件作為樣本進(jìn)行檢測(cè),測(cè)試指標(biāo)結(jié)果的頻數(shù)分布表如下:

甲種生產(chǎn)方式:

指標(biāo)區(qū)間

頻數(shù)

5

15

20

30

15

15

乙種生產(chǎn)方式:

指標(biāo)區(qū)間

頻數(shù)

5

15

20

30

20

10

(1)在用甲種方式生產(chǎn)的產(chǎn)品中,按合格品與優(yōu)等品用分層抽樣方式,隨機(jī)抽出5件產(chǎn)品,①求這5件產(chǎn)品中,優(yōu)等品和合格品各多少件;②再?gòu)倪@5件產(chǎn)品中,隨機(jī)抽出2件,求這2件中恰有1件是優(yōu)等品的概率;

(2)所加工生產(chǎn)的農(nóng)產(chǎn)品,若是優(yōu)等品每件可售55元,若是合格品每件可售25元.甲種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為15元,乙種生產(chǎn)方式每生產(chǎn)一件產(chǎn)品的成本為20元.用樣本估計(jì)總體比較在甲、乙兩種不同生產(chǎn)方式下,該扶貧單位要選擇哪種生產(chǎn)方式來幫助該扶貧村來脫貧?

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【題目】過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A,B兩點(diǎn),設(shè)點(diǎn)M3,0.若△MAB的面積為,則|AB|=( )

A.2B.4C.D.8

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【題目】已知函數(shù),其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

1)當(dāng)時(shí),求曲線處的切線方程;

2)如果對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

3)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)若存在x0∈R,f(x0)x0成立,則稱x0f(x)的不動(dòng)點(diǎn).已知f(x)ax2(b1)xb1(a≠0)

(1)當(dāng)a1,b=-2時(shí),求函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn);

(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求a的取值范圍;

(3)(2)的條件下,若yf(x)圖象上A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn),且A,B兩點(diǎn)關(guān)于直線ykx對(duì)稱,求b的最小值.

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【題目】如圖,在矩形中,將沿對(duì)角線折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且平面平面.

1)求證:;

2)若直線與平面所成角的正弦值為,求二面角的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為,且滿足,,.

1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

2)記.

①求Tn;

②求證:.

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【題目】已知函數(shù)

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1,問:在什么范圍取值時(shí),對(duì)于任意的,函數(shù)在區(qū)間上總存在極值?

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【題目】已知函數(shù).
(1)求該函數(shù)的最小正周期和最小值;
(2),求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.

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