Question

15．如圖，已知四邊形ABCD是矩形，AD=4，AB=2，E、F分別是線段AB、BC的中點(diǎn)，PA⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明PF⊥FD；
（Ⅱ）在PA上找一點(diǎn)G，使得EG∥平面PFD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AF，利用已知條件推導(dǎo)出AF⊥FD，再由PA⊥面ABCD，推導(dǎo)出FD⊥面PAF，由此能證明PF⊥FD．
（Ⅱ）過(guò)E作EH∥FD交AD于H，再過(guò)H作HG∥PD交PA于G，利用已知條件推導(dǎo)出面EHG∥面PFD，由此入手能確定G點(diǎn)的位置．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AF，
因?yàn)樵诰匦蜛BCD中，
AD=4，AB=2，F(xiàn)分別是線段BC的中點(diǎn)，
所以AF⊥FD．…（2分）
又因?yàn)镻A⊥面ABCD，所以PA⊥FD．…（4分）
又AF∩PA=A，所以平面PAF⊥FD．
所以PF⊥FD…（6分）
（Ⅱ）解：過(guò)E作EH∥FD交AD于H，則EH∥平面PFD且$AH=\frac{1}{4}AD$．…（8分）
再過(guò)H作HG∥DP交PA于G，則HG∥平面PFD且$AG=\frac{1}{4}AP$．…（10分）
所以平面EHG∥平面PFD，所以EG∥平面PFD
從而滿足$AG=\frac{1}{4}AP$的點(diǎn)G為所找…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與直線垂直的證明，考查空間點(diǎn)位置的確定，要熟練掌握直線與平面、平面與平面、直線與直線的位置關(guān)系的判斷與證明，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．