Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$mx²+1，g（x）=2lnx-（2m+1）x-1（m∈R），且h（x）=f（x）+g（x）
（1）若函數(shù)h（x）在（1，f（1））和（3，f（3））處的切線互相平行，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）求h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算h′（1），h′（3），以及h（1），h（3）求出切線方程即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論m的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=$\frac{1}{2}$mx²-（2m+1）x+2lnx，
∴h′（x）=mx-（2m+1）+$\frac{2}{x}$，（x＞0），
（1）h′（1）=m-（2m+1）+2=1-m，
∴h′（3）=3m-（2m+1）+$\frac{2}{3}$=m-$\frac{1}{3}$，
由h′（1）=h′（3）得：m=$\frac{2}{3}$；
（2）∵h(yuǎn)′（x）=$\frac{（mx-1）（x-2）}{x}$，（x＞0），
?當(dāng)m≤0時(shí)，x＞0，mx-1＜0，
在區(qū)間（0，2）上，f′（x）＞0，
在區(qū)間（2，+∞）上，f′（x）＜0，
?當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，$\frac{1}{m}$＞2，
在區(qū)間（0，2）和（$\frac{1}{m}$，+∞）上，f′（x）＞0，
在區(qū)間（2，$\frac{1}{m}$）上，f′（x）＜0，
當(dāng)m=$\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）=$\frac{{（x-2）}^{2}}{2x}$，
?在區(qū)間（0，+∞）上，f′（x）＞0，
④當(dāng)m＞$\frac{1}{2}$時(shí)，0＜$\frac{1}{m}$＜2，
在區(qū)間（0，$\frac{1}{m}$）和（2，+∞）上，f′（x）＞0，
在區(qū)間（$\frac{1}{m}$，2）上，f′（x）＜0，
綜上：?當(dāng)m≤0時(shí)，f（x）在（0，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
當(dāng)0＜m＜$\frac{1}{2}$時(shí)，?
f（x）在（0，2）和（$\frac{1}{m}$，+∞）遞增，在（2，$\frac{1}{m}$）遞減，
m=$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增?；
④當(dāng)m＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在（0，$\frac{1}{m}$）和（2，+∞）遞增，在（$\frac{1}{m}$，2）遞減．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．