Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為e=

2

2

，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長為半徑的圓與直線x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過右焦點(diǎn)F作斜率為-

2

2

的直線l交曲線C于M、N兩點(diǎn)，且

OM

+

ON

+

OH

=

0

，又點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G，試問M、G、N、H四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出圓心坐標(biāo)和半徑；若不共圓，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，求出b，利用離心率求出a，即可求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）求出直線l的方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），利用

OM

+

ON

+

OH

=

0

，求出H坐標(biāo)，又點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為點(diǎn)G求出G的坐標(biāo)，推出線段MN、GH的中垂線方程l₁和l₂，然后求出l₁和l₂的交點(diǎn)為O₁，推出M、G、N、H四點(diǎn)共圓．

解答： （本題滿分13分）
解：（Ⅰ）由題意可得圓的方程為x²+y²=b²，
∵直線x-y+

2

=0與圓相切，∴d=

2

2

=b，即b=1，--------（2分）
又e=

c

a

=

2

2

，及a²=b²+c²，得a²=2，
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1．-----------（4分）
（Ⅱ）因直線l過點(diǎn)F，且斜率為k=-

2

2

，故有l(wèi)：y=-

2

2

(x-1)．
聯(lián)立方程組

x2 2 +y2=1 y=- 2 2 (x-1)

，消去y，得2x²-2x-1=0-----------（6分）
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），可得

x1+x2=1 x1x2=- 1 2

，于是

x1+x2=1 y1+y2= 2 2

．
又

OM

+

ON

+

OH

=

0

，得

OH

=(-x1-x2，-y1-y2)即H（-1，-

2

2

）-----------（8分）
而點(diǎn)G與點(diǎn)H關(guān)于原點(diǎn)對稱，于是，可得點(diǎn)G（1，

2

2

）
若線段MN、GH的中垂線分別為l₁和l₂，kGH=

2

2

，則有
l₁：y-

2

4

=

2

(x-

1

2

)，和l₂：y=-

2

x
聯(lián)立方程組

y- 2 4 = 2 (x- 1 2 ) y=- 2 x

，解得l₁和l₂的交點(diǎn)為O₁（

1

8

，-

2

8

）-----------（11分）
因此，可算得|O1H|=

( 9 8 )2+( 3 2 8 )2

=

3 11

8

．
|O1M|=

(x1- 1 8 )2+(y1+ 2 8 )2

=

3 11

8

．
所以M、G、N、H四點(diǎn)共圓，且圓心坐標(biāo)為O₁（

1

8

，-

2

8

），半徑為

3 11

8

．-----------（13分）

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的圓心與半徑的求法，考查分析問題解決問題的能力．