Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知a₁=1，S_n+1=4a_n+2（n∈N^*）．
（1）設(shè)b_n=a_n+1-2a_n，證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列（要指出首項(xiàng)、公比）；
（2）若c_n=nb_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知數(shù)列遞推式可得當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，與原遞推式聯(lián)立可得a_n+1=4a_n-4a_n-1，然后利用定義證明數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式求出數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 （1）證明：∵S_n+1=4a_n+2，∴當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=4a_n-1+2，
兩式相減得：a_n+1=4a_n-4a_n-1，
∴$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=\frac{{{a_{n+1}}-2{a_n}}}{{{a_n}-2{a_{n-1}}}}=\frac{{4{a_n}-4{a_{n-1}}-2{a_n}}}{{{a_n}-2{a_{n-1}}}}=\frac{{2{a_n}-4{a_{n-1}}}}{{{a_n}-2{a_{n-1}}}}=2$，
∵當(dāng)n=1時(shí)，S₂=4a₁+2，a₁=1，∴a₂=5，從而b₁=3，
∴數(shù)列{b_n}是以b₁=3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）知${b_n}=3•{2^{n-1}}$，從而${c_n}=3n•{2^{n-1}}$，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n-1+c_n=3×2⁰+6×2¹+9×2²+…+3（n-1）×2^n-2+3n×2^n-1，
2T_n=3×2¹+6×2²+9×2³+…+3（n-1）×2^n-1+3n×2ⁿ，
兩式相減得：$-{T_n}=3×（{{2^0}+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}}）-3n×{2^n}$=$3×\frac{{1-{2^{n-1}}×2}}{1-2}-3n×{2^n}=（{3-3n}）{2^n}-3$，
∴${T_n}=（{3n-3}）{2^n}+3$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．