Question

14．已知函數f（x）=（2x²-3x）•e^x
（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若方程（2x-3）•e^x=$\frac{a}{x}$有且僅有一個實根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求函數f（x）的導數，利用導數小于0，求解單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）分離變量，通過函數的圖象的交點個數，判斷零點個數，利用單調性求解函數的極值，推出結果即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題可得：f′（x）=（2x²+x-3）•e^x…（1分）
令f′（x）＜0，得　2x²+x-3＜0，解得：$-\frac{3}{2}＜x＜1$…（3分）
∴函數f（x）的單調遞減區(qū)間是$（-\frac{3}{2}，1）$．…（4分）
（Ⅱ）∵方程$（2x-3）•{e^x}=\frac{a}{x}$有且僅有一個實根
∴方程（2x²-3x）•e^x=a有且僅有一個非零實根，即方程f（x）=a，（x≠0）有且僅有一個實根．
因此，函數y=f（x），（x≠0）的圖象與直線y=a有且僅有一個交點．…（6分）
結合（Ⅰ）可知，函數f（x）的單調遞減區(qū)間是$（-\frac{3}{2}，1）$，單調遞增區(qū)間是$（-∞，-\frac{3}{2}），（1，+∞）$
∴函數f（x）的極大值是$f（-\frac{3}{2}）=9{e^{-\frac{3}{2}}}$，極小值是f（1）=-e．…（9分）
又∵$f（0）=f（\frac{3}{2}）=0$且x＜0時，f（x）＞0．∴當$a＞9{e^{-\frac{3}{2}}}$或a=0或a=-e時，
函數y=f（x），（x≠0）的圖象與直線y=a有且僅有一個交點．…（11分）
∴若方程$（2x-3）•{e^x}=\frac{a}{x}$有且僅有一個實根，
實數a的取值范圍是$\{-e，0\}∪（9{e^{-\frac{3}{2}}}，+∞）$．…（12分）

點評 本題考查函數的導數的綜合應用，考查函數的單調性以及函數的極值，考查分析問題解決問題的能力．