分析 (1)由題意,列出關于a,b,c的方程組,解得即可,則橢圓方程可求;
(2)設直線l:x=my+n點M(x1,y1),N(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關系及$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=0,求出x=m(y+$\frac{3}{14}$)+$\frac{1}{7}$,即可得到直線過定點.
解答 解:(1)設橢圓的方程為:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1(a>b>0),則由已知可得:$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{\frac{9}{4}}{^{2}}=1}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{\frac{3}{2}}{1+c}=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$,解得a=2,b=$\sqrt{3}$,c=1,
則橢圓的方程為:$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1,
(2)設直線l:x=my+n點M(x1,y1),N(x2,y2).直線l與橢圓C的方程聯(lián)立,消去x得,(4+3m2)y2+8mny+3m2-12=0,
∴y1+y2=-$\frac{6mn}{3{m}^{2}+4}$,y1y2=$\frac{3{n}^{2}-12}{3{m}^{2}+4}$,①
同理可得:x1+x2=$\frac{8n}{3{m}^{2}+4}$,x1x2=$\frac{4{n}^{2}-12{m}^{2}}{3{m}^{2}+4}$,②,
又由∠MAN=90°,則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$=0,
∴(x1-1,y1-$\frac{3}{2}$)•(x2-1,y2-$\frac{3}{2}$)=x1x2-(x1+x2)+y1y2-$\frac{3}{2}$(y1+y2)+$\frac{13}{4}$=0③
將①②代入③整理得:3($\frac{3}{2}$m+n)2+4(n-1)2-9m2-3=0,
也就是3($\frac{3}{2}$m+n-1)($\frac{3}{2}$m+n+1)+4(n-1-$\frac{3}{2}$m)(n-1+$\frac{3}{2}$m)=0,
由于點A不在直線l上,則$\frac{3}{2}$m+n-1≠0則,
3($\frac{3}{2}$m+n+1)+4(n-1-$\frac{3}{2}$m)=0,整理n=$\frac{2+3m}{14}$,
則x=my+n=my+$\frac{2+3m}{14}$=m(y+$\frac{3}{14}$)+$\frac{1}{7}$,
所以直線l過定點($\frac{1}{7}$,-$\frac{3}{14}$)
點評 本題考查橢圓標準方程的求法,考查了直線與圓錐曲線位置關系的應用,訓練了存在性問題的求解方法,考查了數(shù)形結合的思想、推理能力和計算能力,屬難題.
科目:高中數(shù)學 來源:2016-2017學年河北正定中學高二上月考一數(shù)學(理)試卷(解析版) 題型:選擇題
在斜△中,角,,所對的邊長分別為,,,,,且△的面積為1,則的值為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 2 | B. | 3 | C. | 4 | D. | 1 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | π | B. | $\frac{π}{2}$ | C. | $\frac{3π}{8}$ | D. | $\frac{π}{16}$ |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | .21 | B. | .24 | C. | .33 | D. | .37 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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