Question

3．某地擬模仿圖（1）建造一座大型體育館，其設計方案側面的外輪廓線如圖（2）所示：曲線AB是以點E為圓心的圓的一部分，其中E（0，t）曲線BC是拋物線y=-ax²+30（a＞0）的一部分；CD⊥AD，且CD恰好等于圓E的半徑．
（1）若要求CD=20米，AD=（10$\sqrt{3}$+30）米，求t與a值；
（2）當0＜t≤10時，若要求體育館側面的最大寬度DF不超過45米，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據圓E的半徑CD=30-t求出t的值，再利用圓E的方程求出點C的坐標，代入拋物線方程求出a的值；
（2）根據圓E的半徑，利用拋物線求出OD的值，寫出DF的表達式，求DF在t∈（0，10]時不等式DF≤45恒成立即可．

解答 解：（1）因為CD=30-t=20，解得t=10；…3分
此時圓E：x²+（y-10）²=20²，
令y=0，得AO=10$\sqrt{3}$，
所以OD=AD-AO=30，
將點C（30，20）代入y=-ax²+30（a＞0）中，
解得$a=\frac{1}{90}$；…7分
（2）因為圓E的半徑為30-t，所以CD=30-t，
在y=-ax²+30中，令y=30-t，
解得$OD=\sqrt{\frac{t}{a}}$，
則由題意知$FD=30-t+\sqrt{\frac{t}{a}}≤45$對t∈（0，10]恒成立，…9分
所以$\sqrt{\frac{1}{a}}≤\sqrt{t}+\frac{15}{{\sqrt{t}}}$恒成立，而，當$\sqrt{t}=\frac{15}{{\sqrt{t}}}$，即t=15∉（0，10]時，
由$y=\sqrt{t}+\frac{15}{{\sqrt{t}}}$（$\sqrt{t}∈（0，\sqrt{10}]$）遞減，
可知：當t=10取最小值$\sqrt{10}+\frac{15}{{\sqrt{10}}}$；…12分
故$\sqrt{\frac{1}{a}}≤\sqrt{10}+\frac{15}{{\sqrt{10}}}$，
解得$a≥\frac{2}{125}$．…14分．

點評 本題考查了直線與圓的方程以及拋物線方程的應用問題，也考查了不等式在某一區(qū)間內恒成立的問題，是綜合性題目．