Question

4．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=60°，對(duì)角線AC、BD相交于O，將菱形ABCD沿對(duì)角線AC折起，使BD=3$\sqrt{2}$，得到三棱錐B-ACD．

（1）若M是BC的中點(diǎn)，求證：直線OM∥平面ABD；
（2）求三棱錐B-ACD的體積；
（3）若N是BD上的動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)直線CN與平面OBD所成角最大時(shí)，二面角N-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，利用三角形中位線定理可得OM∥AB．利用線面平行的判定定理即可證明OM∥平面ABD．
（2）OB=OD=3，BD=3$\sqrt{2}$．利用勾股定理的逆定理可得BO⊥OD，又OD⊥AC，可得OD⊥平面ABC，因此OD=3為三棱錐D-ABC的高，利用三棱錐的體積為V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×OD$即可得出．
（3）N是BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N為BD的中點(diǎn)時(shí)，ON⊥BD，此時(shí)，ON取得最小值，連接CN，則CN⊥BD．∠CNO為直線CN與平面OBD所成角，此時(shí)取得最大角．可得：∠BON為二面角N-AC-B的平面角即可得出．

解答 （1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)O是菱形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以O(shè)是AC的中點(diǎn)．
又點(diǎn)M是棱BC的中點(diǎn)，
所以O(shè)M是△ABC的中位線，OM∥AB．…（2分）
因?yàn)镺M?平面ABD，
AB?平面ABD，
所以O(shè)M∥平面ABD．…（6分）
（2）解：OB=OD=3，BD=3$\sqrt{2}$．
∴OB²+OD²=BD²．
∴∠BOD=90°．
∴BO⊥OD，又OD⊥AC，AC∩OB=O點(diǎn)，
∴OD⊥平面ABC，
所以O(shè)D=3為三棱錐D-ABC的高，
因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為6，∠BAD=60°，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}×{6}^{2}×sin12{0}^{°}$=9$\sqrt{3}$，
所以所求三棱錐的體積為V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×OD$=$\frac{1}{3}×9\sqrt{3}×3$=9$\sqrt{3}$．
（3）解：N是BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)N為BD的中點(diǎn)時(shí)，ON⊥BD，此時(shí)，ON取得最小值，
連接CN，則CN⊥BD．∠CNO為直線CN與平面OBD所成角，此時(shí)取得最大角．
可得：∠BON為二面角N-AC-B的平面角，可得：∠BON=45°．
∴sin∠BON=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行與垂直的判定定理及其性質(zhì)定理、三棱錐體積計(jì)算公式、空間角，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．