Question

【題目】已知橢圓G： 的離心率為，過(guò)橢圓G右焦點(diǎn)F的直線m：x＝1與橢圓G交于點(diǎn)M(點(diǎn)M在第一象限)．

(Ⅰ)求橢圓G的方程；

(Ⅱ)已知A為橢圓G的左頂點(diǎn)，平行于AM的直線l與橢圓G相交于B，C兩點(diǎn)，請(qǐng)判斷直線MB，MC是否關(guān)于直線m對(duì)稱，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)直線MB，MC關(guān)于直線m對(duì)稱，理由見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出c=1， ，由此能求出橢圓的方程．

（Ⅱ）由已知條件得A(－2,0)，M(1， )，設(shè)直線l: ，n≠1．設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），由，得x2+nx+n2﹣3=0．再由根的判別式和韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出直線MB，MC關(guān)于直線m對(duì)稱．

試題解析：

(Ⅰ)由題意得c＝1,

由＝可得a＝2，

所以b2＝a2－c2＝3,

所以橢圓的方程為＋＝1.

(Ⅱ)由題意可得點(diǎn)A(－2,0)，M(1，)，

所以由題意可設(shè)直線l：y＝x＋n，n≠1.

設(shè)B(x1，y1)，C(x2，y2)，

由得x2＋nx＋n2－3＝0.

由題意可得Δ＝n2－4(n2－3)＝12－3n2>0，即n∈(－2,2)且n≠1.

x1＋x2＝－n，x1x2＝n2－3

因?yàn)?/span>kMB＋kMC＝＋

＝＋

＝1＋＋

＝1＋

＝1－＝0，

所以直線MB，MC關(guān)于直線m對(duì)稱.