Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+x+3，
（1）$x∈[{\frac{2}{3}，1}]$時(shí)求值域．
（2）若F（x）=f（x）+m有三個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分別利用導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0求得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（1）可知函數(shù)在[$\frac{2}{3}$，1]上為減函數(shù)，求出兩端點(diǎn)的函數(shù)值，則$x∈[{\frac{2}{3}，1}]$時(shí)求值域可求；
（2）把F（x）=f（x）+m有三個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程f（x）+m=0有三個(gè)根，即y=f（x）的圖象與y=-m有三個(gè)不同交點(diǎn)，結(jié)合（1）作出f（x）圖象的大致形狀，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：由f（x）=x³-2x²+x+3，得f′（x）=3x²-4x+1，
由3x²-4x+1＞0，得x＜$\frac{1}{3}$或x＞1；
由3x²-4x+1＜0，得$\frac{1}{3}$＜x＜1．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）；單調(diào)減區(qū)間為（$\frac{1}{3}$，1）．
（1）由上可知，函數(shù)在[$\frac{2}{3}$，1]上單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）的最大值是f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{83}{27}$，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）的最小值是f（1）=3．
∴$x∈[{\frac{2}{3}，1}]$時(shí)，值域是[3，$\frac{83}{27}$]；
（2）F（x）=f（x）+m有三個(gè)零點(diǎn)，即方程f（x）+m=0有三個(gè)根，
也就是y=f（x）的圖象與y=-m有三個(gè)不同交點(diǎn)，如圖：
則3＜-m＜$\frac{83}{27}$，解得-$\frac{83}{27}$＜m＜-3．
∴m的取值范圍是（-$\frac{83}{27}$，-3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．