Question

設定義在R上的函數f（x）=a₀x⁴+a₁x³+a₂x²+a₃x （a_i∈R，i=0，1，2，3），當x=-

2

2

時，f （x）取得極大值

2

3

，并且函數y=f′（x）的圖象關于y軸對稱．
（1）求f （x）的表達式；
（2）試在函數f （x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區(qū)間[-1，1]上；
（3）求證：|f（sinx）-f（cosx）|≤

2 2

3

（x∈R）．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,導數的幾何意義

專題：綜合題,導數的綜合應用

分析：（1）先根據圖象關于y軸對稱，得其偶函數f（-x）=f（x），求得a₀=a₂=0，再利用導數研究單調性，列方程求得a₁和a₃，從而求f （x）的表達式；
（2）設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂再利用切線的斜率之積為1：（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1，即可求得結果；
（3）因為|f（sinx）-f（cosx）|≤|f（sinx）|+|f（cosx）|，故欲求證：|f （sin x）-f （cos x）|≤

2 2

3

（x∈R），只須探求|f（sinx）|和|f（cosx）|的取值范圍即可，故只要利用導數研究函數f（x）的單調性即可．

解答： （1）解：∵f?（x）=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃為偶函數，∴f′（-x）=f′（x），
∴-4a₀x³+3a₁x²-2a₂x+a₃=4a₀x³+3a₁x²+2a₂x+a₃，
∴4a₀x³+2a₂x=0對一切x∈R恒成立，
∴a₀=a₂=0，∴f （x）=a₁x³+a₃x
又當x=-

2

2

時，f （x）取得極大值

2

3

，
∴

f(- 2 2 )= 2 3 f′(- 2 2 )=0

，解得a=

2

3

或-1，
∴f （x）=

2

3

x³-x或f（x）=2x²-1
（2）解：設所求兩點的橫坐標為x₁、x₂ （x₁＜x₂），則（2x₁²-1）（2x₂²-1）=-1
又∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴2x₁²-1∈[-1，1]，2x₂²-1∈[-1，1]
∴2x₁²-1，2x₂²-1中有一個為1，一個為-1，
∴

x1=0 x2=1

或 

x1=-1 x2=0

，
∴所求的兩點為（0，0）與（1，-

1

3

）或（0，0）與（-1，

1

3

）．
（3）證明：易知sin x∈[-1，1]，cos x∈[-1，1]．
當0＜x＜

2

2

時，f′（x）＜0；當

2

2

＜x＜1時，f′（x）＞0．
∴f （x）在[0，

2

2

]為減函數，在[

2

2

，1]上為增函數，
又f （0）=0，f （

2

2

）=-

2

3

，f （1）=-

1

3

，而f （x）在[-1，1]上為奇函數，
∴f （x）在[-1，1]上最大值為

2

3

，最小值為-

2

3

，即|f （x）|≤

2

3

，
∴|f （sin x）|≤

2

3

，|f （cos x）|≤

2

3

，
∴|f （sin x）-f （cos x）|≤|f （sin x）|+|f （cos x）|≤

2 2

3

點評：本題主要考查了待定系數法求函數解析式、不等式的證明、利用導數研究函數的單調性，屬于中檔題．