【題目】已知數(shù)列,滿足…).

1)若,求的值;

2)若,則數(shù)列中第幾項(xiàng)最小?請(qǐng)說(shuō)明理由;

3)若n=1,2,3,…),求證:“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…)”.

【答案】(1)(2)第8項(xiàng)最小,理由見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析

【解析】

1)由可判斷是等差數(shù)列,則,進(jìn)而利用等差數(shù)列性質(zhì)求解即可;

2)法一:利用數(shù)列的增減性進(jìn)行判斷即可;

法二:求出的通項(xiàng)公式,利用均值不等式求最值,即可得到取等條件,進(jìn)而求解;

(3)若數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為,說(shuō)明數(shù)列為等差數(shù)列,…)推出…);若數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…),設(shè)公差為,轉(zhuǎn)化推出…),說(shuō)明數(shù)列為等差數(shù)列,結(jié)論得證

1)由,可得,故是等差數(shù)列,

所以

2

當(dāng)時(shí),,解得,

當(dāng)時(shí),,解得,

故有,

所以數(shù)列最小,即第8項(xiàng)最小

法二:由,

可知

(當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào))

所以數(shù)列中的第8項(xiàng)最小

3)證明:若數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè)其公差為,

為常數(shù),

所以數(shù)列為等差數(shù)列,

…),

,故…)成立,故必要性成立;

若數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…),設(shè)的公差為,

n=1,2,3,…),

,故,

,,故,

所以,故有,所以為常數(shù),

故數(shù)列為等差數(shù)列,故充分性成立,

綜上可得,“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分必要條件是“數(shù)列為等差數(shù)列且n=1,2,3,…)”

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】設(shè)函數(shù).

(1),求的單調(diào)區(qū)間;

(2)若當(dāng)時(shí)恒成立,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】近年來(lái),我國(guó)工業(yè)經(jīng)濟(jì)發(fā)展迅速,工業(yè)增加值連年攀升,某研究機(jī)構(gòu)統(tǒng)計(jì)了近十年(從2008年到2017年)的工業(yè)增加值(萬(wàn)億元),如下表:

年份

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

年份序號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

工業(yè)增加值

13.2

13.8

16.5

19.5

20.9

22.2

23.4

23.7

24.8

28

依據(jù)表格數(shù)據(jù),得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.

5.5

20.6

82.5

211.52

129.6

(1)根據(jù)散點(diǎn)圖和表中數(shù)據(jù),此研究機(jī)構(gòu)對(duì)工業(yè)增加值(萬(wàn)億元)與年份序號(hào)的回歸方程類型進(jìn)行了擬合實(shí)驗(yàn),研究人員甲采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員乙采用函數(shù),其擬合指數(shù);研究人員丙采用線性函數(shù),請(qǐng)計(jì)算其擬合指數(shù),并用數(shù)據(jù)說(shuō)明哪位研究人員的函數(shù)類型擬合效果最好.(注:相關(guān)系數(shù)與擬合指數(shù)滿足關(guān)系).

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及統(tǒng)計(jì)值,建立關(guān)于的回歸方程(系數(shù)精確到0.01);

(3)預(yù)測(cè)到哪一年的工業(yè)增加值能突破30萬(wàn)億元大關(guān).

附:樣本 的相關(guān)系數(shù),

,.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形,側(cè)棱底面中點(diǎn),分別為上的點(diǎn),且滿足.

(1)求證:平面平面, ;

(2)若三棱錐的體積為,求三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在貫徹中共中央、國(guó)務(wù)院關(guān)于精準(zhǔn)扶貧政策的過(guò)程中,某單位在某市定點(diǎn)幫扶某村戶貧困戶.為了做到精準(zhǔn)幫扶,工作組對(duì)這戶村民的年收入情況、危舊房情況、患病情況等進(jìn)行調(diào)查,并把調(diào)查結(jié)果轉(zhuǎn)化為各戶的貧困指標(biāo).將指標(biāo)按照,,,分成五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖.規(guī)定若,則認(rèn)定該戶為絕對(duì)貧困戶,否則認(rèn)定該戶為相對(duì)貧困戶;當(dāng)時(shí),認(rèn)定該戶為亟待幫住戶”.工作組又對(duì)這戶家庭的受教育水平進(jìn)行評(píng)測(cè),家庭受教育水平記為良好不好兩種.

1)完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為絕對(duì)貧困戶數(shù)與受教育水平不好有關(guān):

受教育水平良好

受教育水平不好

總計(jì)

絕對(duì)貧困戶

相對(duì)貧困戶

總計(jì)

2)上級(jí)部門為了調(diào)查這個(gè)村的特困戶分布情況,在貧困指標(biāo)處于的貧困戶中,隨機(jī)選取兩戶,用表示所選兩戶中亟待幫助戶的戶數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:,其中.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知A是圓錐的頂點(diǎn),是圓錐底面的直徑,C是底面圓周上一點(diǎn),,與底面所成角的大小為60°,過(guò)點(diǎn)A作截面,截去部分后的幾何體如圖所示.

1)求異面直線所成角的大;

2)求該幾何體的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】對(duì)于函數(shù),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù),滿足,則稱為“局部奇函數(shù)”.

(1)已知二次函數(shù),試判斷是否為“局部奇函數(shù)”?并說(shuō)明理由;

(2)若是定義在區(qū)間上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若為定義域上的“局部奇函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知函數(shù),的導(dǎo)函數(shù),且.

1)求的值,并證明處取得極值;

2)證明:在區(qū)間有唯一零點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,直三棱柱中,分別是的中點(diǎn),.

1)證明:平面

2)求二面角的余弦值.

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