Question

16．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2（a_n-1），等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁，b₄=a₃，其中n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若C_n=（-1）ⁿb_nb_n+1，求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

分析 （I）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2（a_n-1），n=1時，a₁=2（a₁-1），解得a₁．n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為：a_n=2a_n-1．利用等比數(shù)列的通項公式可得∴a_n．等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁=2，b₄=a₃=8．公差d滿足：2+3d=8，解得d即可得出．
（II）C_n=（-1）ⁿb_nb_n+1=（-1）ⁿ×4n（n+1）．可得c_2k-1+c_2k=-4（2k-1）×2k+4（2k）（2k+1）=16k．利用分組求和即可得出．

解答 解：（I）數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=2（a_n-1），n=1時，a₁=2（a₁-1），解得a₁=2．
n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-1）-2（a_n-1-1），化為：a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項與公比都為2．
∴a_n=2ⁿ．
等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₁=2，b₄=a₃=8，其中n∈N*．
公差d滿足：2+3d=8，解得d=2．
∴b_n=2+2（n-1）=2n．
（II）C_n=（-1）ⁿb_nb_n+1=（-1）ⁿ×4n（n+1）．
∴c_2k-1+c_2k=-4（2k-1）×2k+4（2k）（2k+1）=16k．
∴數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n=16×（1+2+…+n）=16×$\frac{n（n+1）}{2}$=8n²+8n．

點評 本題考查了分組求和方法、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．