Question

19．如圖等邊三角形ABC所在平面與菱形BCDE所在平面互相垂直，F(xiàn)為AE中點(diǎn)，AB=2，∠CBE=60°．
（1）求證：AC∥平面BDF；
（2）求點(diǎn)C到平面ABE的距離．

Answer 1

分析 （1）連接EC，EC∩BD=O，連接OF，由線線平行證明線面平行；
（2）將體積等價(jià)轉(zhuǎn)化，求出體積，再求出底面面積，從而求高，得距離．

解答 （1）證明：連接EC，EC∩BD=O，連接OF，
∵OF為△CAE的中位線，
∴OF∥AC，
∵OF?平面BDF，AC?平面BDF，
∴AC∥平面BDF；
（2）解：取BC的中點(diǎn)M，連接AM，EM，則AM⊥平面BCDE，
由題意，AM=EM=$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{6}$，
△ABE中，AB=BE=2，AE=$\sqrt{6}$，S_△ABE=$\frac{1}{2}×\sqrt{6}×\sqrt{4-\frac{6}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$，
設(shè)點(diǎn)C到平面ABE的距離為h，則$\frac{1}{3}×$$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{15}}{2}h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}×\sqrt{3}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{15}}{5}$，
即點(diǎn)C到平面ABE的距離為$\frac{4\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了空間中線面的位置關(guān)系及距離問(wèn)題，屬于中檔題．