Question

7．如圖直線y=kx及拋物線y=x-x²
（1）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，求由直線y=kx及拋物線y=x-x²圍成的平面圖形的面積；
（2）若直線y=kx分拋物線y=x-x²與x軸所圍圖形為面積相等的兩部分，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用定積分的幾何意義，即可求得直線y=$\frac{1}{2}$x及拋物線y=x-x²圍成的平面圖形的面積；
（2）由題意可知求得拋物線與x軸所圍圖形的面積S，則拋物線y=x-x2與y=kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x′₁=0，x′₂=1-k，即可求得$\frac{S}{2}$=${∫}_{0}^{1-k}$（x-x²-kx）dx，即可求得k的值．

解答 解：（1）當(dāng)k=$\frac{1}{2}$時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=0}\\{{x}_{2}=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴由直線y=$\frac{1}{2}$x及拋物線y=x-x²圍成的平面圖形的面積S=${∫}_{0}^{\frac{1}{2}}$（x-x²-$\frac{1}{2}$x）dx=（$\frac{1}{4}$x²-$\frac{1}{3}$x³）${丨}_{0}^{\frac{1}{2}}$=$\frac{1}{48}$，
直線y=$\frac{1}{2}$x及拋物線y=x-x²圍成的平面圖形的面積$\frac{1}{48}$；
（2）拋物線y=x-x²與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁=0，x₂=1，
∴拋物線與x軸所圍圖形的面積S=${∫}_{0}^{1}$（x-x²）dx=（$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{3}}{3}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x-{x}^{2}}\end{array}\right.$可得拋物線y=x-x2與y=kx兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x′₁=0，x′₂=1-k，
所以$\frac{S}{2}$=${∫}_{0}^{1-k}$（x-x²-kx）dx=（$\frac{1-k}{2}$x²-$\frac{{x}^{3}}{3}$）=$\frac{1}{6}$（1-k）³．
又S=$\frac{1}{6}$，所以（1-k）³=$\frac{1}{2}$．于是k=1-$\root{3}{\frac{1}{2}}$=1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$，
所以k的值為1-$\frac{\root{3}{4}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，考查定積分的幾何意義，定積分的應(yīng)用，屬于中檔題．