Question

20．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=4，a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）證明數(shù){a_n-2ⁿ}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=a_n-3n，求b_n的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知的等式利用等差數(shù)列的定義容易證明數(shù){a_n-2ⁿ}是等差數(shù)列，并求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由b_n=a_n-3n，得到b_n的通項公式，進一步求前n項和T_n．

解答 （Ⅰ）證明：因為a₁=4，a_n=a_n-1+2^n-1+3（n≥2，n∈N^*）．
所以（a_n-2ⁿ）-（a_n-1-2^n-1）=3（n≥2，n∈N^*）．
所以{a_n-2ⁿ}是等差數(shù)列；a₁-2¹=2，所以
a_n-2ⁿ=3n-1，所以{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ+3n-1；
（Ⅱ）設b_n=a_n-3n=2ⁿ-1，所以{b_n}的前n項和T_n=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n={2}^{n+1}-n-2$．

點評 本題考查了利用定義證明數(shù)列為等差數(shù)列，從而間接求出{a_n}的通項公式，并且利用了分組求和；屬于中檔題．