Question

5．在△ABC中，A，B，C所對的邊分別是a，b，c，A=$\frac{2π}{3}$，且bcosC=3ccosB，則$\frac{c}$的值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{13}-1}{2}$
• B． $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{2}$

Answer 1

分析 利用余弦定理將角化邊整理得出a，b，c的關(guān)系，再使用余弦定理消去a，得到關(guān)于b，c的方程，即可解出$\frac{c}$的值．

解答 解：△ABC中，A=$\frac{2π}{3}$，且bcosC=3ccosB，
∴b×$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=3c×$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$，
即a²=2b²-2c²；
又cosA=$\frac{^{2}{+c}^{2}{-a}^{2}}{2bc}$=-$\frac{1}{2}$，
∴b²+c²-a²+bc=0，
∴3c²-b²+bc=0，
即-（$\frac{c}$）²+$\frac{c}$+3=0，
解得$\frac{c}$=$\frac{\sqrt{13}+1}{2}$或$\frac{-\sqrt{13}+1}{2}$（不合題意，舍去），
即$\frac{c}$的值為$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$．
故選：B．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換以及余弦定理和一元二次方程的解法問題，屬于中檔題．