Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線與直線垂直，橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條互相垂直的弦．若弦的中點(diǎn)分別為，證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)直線與直線垂直可得，從而得到，再由點(diǎn)在橢圓上可求得，即可得橢圓的方程．（2）當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)的方程為，與橢圓方程聯(lián)立消元后根據(jù)根據(jù)系數(shù)的關(guān)系可得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而可得直線的方程，通過(guò)此方程可得直線過(guò)定點(diǎn)．然后再驗(yàn)證當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)也過(guò)該定點(diǎn)．

試題解析：

（1）因?yàn)橹本�與直線垂直，

所以（為坐標(biāo)原點(diǎn)），

即，

所以．

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

由，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）①當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，

設(shè)直線的方程為，

則直線的方程為，

由消去x整理得，

設(shè)，

則，

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，

用代替點(diǎn)M坐標(biāo)中的可得．

所以直線的方程為，

令，得，

所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

②當(dāng)直線或的斜率不存在時(shí)，可知直線為軸，也經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．

綜上所述，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)．