Question

12．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥平面BB₁C₁C，且四邊形BB₁C₁C是菱形，∠BCC₁=60°．
（1）求證：AC₁⊥B₁C；
（2）若AC⊥AB₁，三棱錐A-BB₁C的體積為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)BC₁，推導(dǎo)出AB⊥B₁C，B₁C⊥BC₁，從而B₁C⊥平面ABC₁，由此能求出AC₁⊥B₁C．
（2）由AB⊥平面BB₁C₁C，BC=BB₁，知AC=AB₁，由三棱錐A-BB₁C的體積為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求出菱形BB₁C₁C的邊長，由此能求出△ABC的面積．

解答 證明：（1）連結(jié)BC₁，
∵AB⊥平面BB₁C₁C，B₁C?平面BB₁C₁C，∴AB⊥B₁C，
∵四邊形BB₁C₁C是菱形，∴B₁C⊥BC₁，
∵AB∩BC₁=B，∴B₁C⊥平面ABC₁，
∵AC₁?平面ABC₁，∴AC₁⊥B₁C．
解：（2）由AB⊥平面BB₁C₁C，BC=BB₁，知AC=AB₁，
設(shè)菱形BB₁C₁C的邊長為a，
∵∠BCC₁=60°，∴${B}_{1}{C}^{2}$=$B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}-2BC•B{B}_{1}•cos120°$=3a²，
∵AC⊥AB₁，∴$A{C}^{2}+A{{B}_{1}}^{2}={B}_{1}{C}^{2}=3{a}^{2}$，∴AC=AB₁=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，BC?側(cè)面BB₁C₁C，∴AB⊥BC，
∴在Rt△ABC中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
∵三棱錐A-BB₁C的體積為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴${V}_{A-B{B}_{1}C}=\frac{1}{3}{S}_{△B{B}_{1}C}•AB=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×sin120°$×$\frac{\sqrt{2}}{2}a=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
解得a=2，∴AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}a=\sqrt{2}$，BC=a=2，
∴△ABC的面積S_△ABC=$\frac{1}{2}$×BC×AB=$\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．