Question

【題目】（1）已知a，b，N都是正數(shù)，a≠1，b≠1，證明對(duì)數(shù)換底公式：logaN＝；

（2）寫出對(duì)數(shù)換底公式的一個(gè)性質(zhì)（不用證明），并舉例應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)且，化為指數(shù)式，兩邊取對(duì)數(shù)可得，化簡(jiǎn)代入即可得出結(jié)果；（2）或.

（1）設(shè)logaN＝x，則N＝ax．

兩邊同時(shí)取b為底對(duì)數(shù)，得logbN＝logbax．

由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，得logbN＝xlogba．

因?yàn)閍≠1，所以logba≠0，所以x＝，于是logaN＝．

或者：因?yàn)閍logaN＝N，兩邊同時(shí)取b為底對(duì)數(shù)，得logbalogaN＝logbN．

由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，得logaNlogba＝logbN．

因?yàn)閍≠1，所以logba≠0，所以logaN＝．

（2）對(duì)數(shù)換底公式性質(zhì)（i）：logaNlogba＝logbN．

例如log23log38＝log28＝3．

對(duì)數(shù)換底公式性質(zhì)（ii）：logablogba＝1．

例如＋＝log102＋log105＝log1010＝1．

對(duì)數(shù)換底公式性質(zhì)（iii）：logNn＝logaN．

例如log2781＝log34＝log33＝．