Question

9．已知橢圓$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$與y軸的正半軸相交于點$M（{0，\sqrt{3}}）$，且橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．若曲線E上相異兩點A、B滿足直線MA，MB的斜率之積為$\frac{1}{4}$．
（1）求曲線E的方程；
（2）證明：直線AB恒過定點，并求定點的坐標；
（3）求△ABM的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓方程可知：b=$\sqrt{3}$，利用離心率公式可知則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，即可求得a的值，求得橢圓方程；
（2）若直線AB的斜率不存在，不成立，則設(shè)直線AB：y=kx+m，代入橢圓方程，由韋達定理，直線的斜率公式及${k_{AM}}•{k_{BM}}=\frac{1}{4}$，即可求得故$m=\sqrt{3}$或$m=2\sqrt{3}$，由x₁x₂≠0知$m=2\sqrt{3}$，即直線AB恒過定點$N（{0，2\sqrt{3}}）$．
（3）利用韋達定理，弦長公式及基本不等式的性質(zhì)，即可求得△ABM的面積的最大值．

解答 解：（1）由題意可知：b=$\sqrt{3}$，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，則$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a²=4，
∴曲線E的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）證明：由曲線E的方程得，上頂點$M（{0，\sqrt{3}}）$，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意知，x₁≠0，x₂≠0，若直線AB的斜率不存在，則直線AB的方程為x=x₁，故y₁=-y₂，
且$y_1^2=y_2^2=3（{1-\frac{x_1^2}{4}}）$，
因此${k_{MA}}•{k_{MB}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{3}}}{x_1}•\frac{{{y_2}-\sqrt{3}}}{x_2}=-\frac{y_1^2-3}{x_1^2}=\frac{3}{4}$，與已知不符，
因此直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB：y=kx+m，
代入橢圓E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，①
由直線AB與曲線E有公共點A，B，則方程①有兩個非零不等實根x₁，x₂，
∴${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{3+4{k^2}}}$，又${k_{AM}}=\frac{{{y_1}-\sqrt{3}}}{x_1}=\frac{{k{x_1}+m-\sqrt{3}}}{x_1}$，${k_{MB}}=\frac{{{y_2}-\sqrt{3}}}{x_2}=\frac{{k{x_2}+m-\sqrt{3}}}{x_2}$，
由${k_{AM}}•{k_{BM}}=\frac{1}{4}$，
得$4（{k{x_1}+m-\sqrt{3}}）（{k{x_2}+m-\sqrt{3}}）={x_1}{x_2}$，
即$（{4{k^2}-1}）{x_1}{x_2}+4k（{m-\sqrt{3}}）（{{x_1}+{x_2}}）+4{（{m-\sqrt{3}}）^2}=0$，
∴$4（{{m^2}-3}）（{4{k^2}-1}）+4k（{m-\sqrt{3}}）（{-8km}）+4{（{m-\sqrt{3}}）^2}（{3+4{k^2}}）=0$，
化簡得${m^2}-3\sqrt{3}m+6=0$，故$m=\sqrt{3}$或$m=2\sqrt{3}$，
結(jié)合x₁x₂≠0知$m=2\sqrt{3}$，即直線AB恒過定點$N（{0，2\sqrt{3}}）$．
（3）由△＞0且$m=2\sqrt{3}$得$k＜-\frac{3}{2}$或$k＞\frac{3}{2}$，
又${S_{△ABM}}=|{{S_{△ANM}}-{S_{△BNM}}}|=\frac{1}{2}|{MN}|•|{{x_2}-{x_1}}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}\sqrt{{{（{\frac{-8km}{{3+4{k^2}}}}）}^2}-4•\frac{{4（{{m^2}-3}）}}{{3+4{k^2}}}}=\frac{{6\sqrt{4{k^2}-9}}}{{3+4{k^2}}}=\frac{6}{{\sqrt{4{k^2}-9}+\frac{12}{{\sqrt{4{k^2}-9}}}}}≤\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
當且僅當4k²-9=12，即$k=±\frac{{\sqrt{21}}}{2}$時，△ABM的面積最大，最大值為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
△ABM的面積的最大值$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，弦長公式及基本不等式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．