Question

2．在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為A₁B₁的中點(diǎn)，則異面直線D₁E和BC₁間的距離是（　�。�

• A． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線D₁E和BC₁間的距離．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
D₁（0，0，2），E（2，1，2），B（2，2，0），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{D}_{1}E}$=（2，1，0），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，2），
設(shè)$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$的公共法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{D}_{1}E}=2x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，1），
∴異面直線D₁E和BC₁間的距離：
d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查異面直線間的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．