Question

14．已知圓C：x²+（y-1）²=5，直線l：mx-y+2-m=0．
（Ⅰ）求證：對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B；
（Ⅱ）若∠ACB=120°，求m的值；
（Ⅲ）當(dāng)|AB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直線l：mx-y+2-m=0恒過(guò)D（1，2）點(diǎn)，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系推出結(jié)果．
（Ⅱ）利用角，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離，求解即可．
（Ⅲ）判斷弦AB最短時(shí)，直線l的斜率k=-1，即m=-1，推出直線方程，然后利用半徑，半弦長(zhǎng)，弦心距的關(guān)系求解即可．

解答 解：（Ⅰ）證明：直線l：mx-y+2-m=0可化為：直線l：m（x-1）-y+2=0恒過(guò)D（1，2）點(diǎn)，
將D（1，2）代入可得：x²+（y-1）²＜5，
即D（1，2）在圓C：x²+（y-1）²=5內(nèi)部，
故對(duì)m∈R，直線l與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B；
（Ⅱ）∠ACB=120°，圓的半徑為：$\sqrt{5}$，圓心（0，1）到直線mx-y+2-m=0的距離為：$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
可得：$\frac{|-1+2-m|}{\sqrt{{m}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，解得m=-4$±\sqrt{15}$．
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得k_CD=$\frac{2-1}{1-0}$=1，
弦AB最短時(shí)，直線l的斜率k=-1，即m=-1，
故此時(shí)直線l的方程為-x-y+3=0，即x+y-3=0，
此時(shí)圓心C到直線的距離d=$\frac{丨0+1-3丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{2}$，
故|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-dbpbpxp^{2}}$=2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．