12．如圖在矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{3}$，BC=2，E為線段DC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AED沿AE折起，使點(diǎn)D在面ABC上的射影K在直線AE上，當(dāng)E從D運(yùn)動(dòng)到C，則K所形成軌跡的長度為（　�。�
A．$\frac{2π}{3}$B．$\frac{π}{3}$C．$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{3}$D．$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$

分析 根據(jù)圖形的翻折過程中變與不變的量和位置關(guān)系知，若連接D'K，則∠D'KA=90°，得到K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，根據(jù)長方形的邊長得到圓的半徑，求得此弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)，利用弧長公式求出軌跡長度．

解答 解：由題意，將△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，
在平面AED內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AE，K為垂足，由翻折的特征知，連接D'K，
則∠D'KA=90°，故K點(diǎn)的軌跡是以AD'為直徑的圓上一弧，
根據(jù)長方形知圓半徑是1，
如圖當(dāng)E與C重合時(shí)，AK=$\frac{2×2}{\sqrt{12+4}}$=1，
取O為AD′的中點(diǎn)，得到△OAK是正三角形．
故∠KOA=$\frac{π}{3}$，∴∠KOD'=$\frac{2π}{3}$，
其所對(duì)的弧長為$\frac{2π}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題目，解題的關(guān)鍵是由題意得出點(diǎn)K的軌跡是圓上的一段弧，翻折問題中要注意位置關(guān)系與長度等數(shù)量的變與不變．本題是一個(gè)中檔題目．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

2．在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為A1B1的中點(diǎn)，則異面直線D1E和BC1間的距離是（　　）
A．$\frac{2\sqrt{6}}{3}$B．$\frac{2}{3}$C．$\frac{1}{2}$D．$\frac{\sqrt{6}}{3}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

3．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-6≤0，}&{\;}\\{x-y-1≤0，}&{\;}\\{x-1≥0．}&{\;}\end{array}\right.$若a∈[-2，9]，則z=ax+y僅在點(diǎn)（$\frac{7}{3}$，$\frac{4}{3}$）處取得最大值的概率為（　　）
A．$\frac{9}{11}$B．$\frac{7}{11}$C．$\frac{6}{11}$D．$\frac{5}{11}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．如圖，已知長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是邊長為4的正方形，高AA1=4$\sqrt{2}$，P為CC1的中點(diǎn)．
（1）求證：BD⊥A1P；
（2）求二面角C-PD-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

7．定義上凸函數(shù)如下：設(shè)f（x）為區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)任意的x1，x2∈I總有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）≤$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$，則稱f（x）為I上的上凸函數(shù)，某同學(xué)查閱資料后發(fā)現(xiàn)了上凸函數(shù)有如下判定定理和性質(zhì)定理：
判定定理：f（x）為上凸函數(shù)的充要條件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）的導(dǎo)數(shù)．
性質(zhì)定理：若函數(shù)f（x）為區(qū)間I上的下凸函數(shù)，則對(duì)I內(nèi)任意的x1，x2，…，xn，都有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）+…+f（{x}_{n}）}{n}$≥f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+…+{x}_{n}}{n}$）．
請(qǐng)問：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

17．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，令Tn=$\frac{{S}_{1}+{S}_{2}+…+{S}_{n}}{n}$，稱Tn為數(shù)列a1，a2，…，an的“平均和”，已知數(shù)列a1，a2，…，a670的“平均和”為2013，那么數(shù)列4，a1，a2，…，a670的“平均和”為（　�。�
A．2012B．2013C．2014D．2015

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左焦點(diǎn)為F（-c，0）（c＞0），過點(diǎn)F作圓${x^2}+{y^2}=\frac{a^2}{4}$的一條切線交圓于點(diǎn)E，交雙曲線右支于點(diǎn)P，若$\overline{OP}=2\overline{OE}-\overline{OF}$，則雙曲線的離心率為（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{10}}}{2}$B．$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$C．$\frac{{\sqrt{7}}}{2}$D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{x}，x≥0}\\{cosx，x＜0}\end{array}\right.$，則f[f（-$\frac{π}{3}$）]=（　　）
A．cos$\frac{1}{2}$B．-cos$\frac{1}{2}$C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．±$\frac{\sqrt{2}}{2}$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．已知指數(shù)函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象過點(diǎn)P（2，4），則在（0，10]內(nèi)任取一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得f（x）＞16的概率為$\frac{3}{5}$．

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