Question

2．如圖，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=b（sinC+cosC）．
（1）求角B的大小；
（2）若A=$\frac{π}{2}$，D為△ABC外一點，DB=2，DC=1，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內角和定理化簡已知等式可得cosBsinC=sinBsinC，結合sinC＞0，可求tanB=1，根據(jù)范圍B∈（0，π），可求B的值．
（2）由余弦定理可得BC²=5-4cosD，由△ABC為等腰直角三角形，可求${S_{△ABC}}=\frac{5}{4}-cosD$，S_△BDC=sinD，由三角函數(shù)恒等變換的應用可求${S_{ABCD}}=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（{D-\frac{π}{4}}）$，利用正弦函數(shù)的圖象和性質可求最大值．

解答 解：（1）∵在△ABC中，a=b（sinC+cosC）．
∴有sinA=sinB（sinC+cosC），
∴sin（B+C）=sinB（sinC+cosC），
∴cosBsinC=sinBsinC，sinC＞0，
則cosB=sinB，即tanB=1，
∵B∈（0，π），
∴則$B=\frac{π}{4}$．
（2）在△BCD中，BD=2，DC=1，
∴BC²=1²+2²-2×1×2×cosD=5-4cosD，
又∵$A=\frac{π}{2}$，
則△ABC為等腰直角三角形，${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}×BC×\frac{1}{2}×BC=\frac{1}{4}B{C^2}=\frac{5}{4}-cosD$，
又∵${S_{△BDC}}=\frac{1}{2}×BD×DCsinD=sinD$，
∴${S_{ABCD}}=\frac{5}{4}-cosD+sinD=\frac{5}{4}+\sqrt{2}sin（{D-\frac{π}{4}}）$，
當$D=\frac{3π}{4}$時，四邊形ABCD的面積最大值，最大值為$\frac{5}{4}+\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，三角形內角和定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應用以及正弦函數(shù)的圖象和性質在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想，屬于中檔題．