Question

設關于x的函數(shù)f（x）=x²-2x+a（a＞2），曲線y=2^x+1上存在點（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：根據(jù)條件判斷出y₀的范圍，為了書寫方便和好理解再令t=y₀，將條件轉(zhuǎn)化為：f[f（t）]-t=0至少有一個大于1的實根，再代入函數(shù)解析式進行化簡、因式分解，化為兩個二次式子相乘，再利用二次方程對應二次函數(shù)的性質(zhì)以及判別式，列出不等式求出a的范圍．

解答： 解：∵點（x₀，y₀）在曲線y=2^x+1上，
∴y₀=2x0+1＞1，
設t=y₀，且t＞1，則f（f（y₀））=y₀變?yōu)閒[f（t）]=t，
由曲線y=2^x+1上存在點（x₀，y₀），使得f（f（y₀））=y₀得，
方程f[f（t）]=t，即f[f（t）]-t=0至少有一個大于1的實根，
∵f（x）=x²-2x+a（a＞2），
∴f[f（t）]-t=0為：
（t²-2t+a）²-2（t²-2t+a）+a-t=0，
（t²-2t+a）²-2t²+3t-a=0
[（t²-2t+a）²-t²]-t²+3t-a=0
（t²-3t+a）（t²-t+a）-（t²-3t+a）=0
（t²-3t+a）（t²-t+a-1）=0
則t²-3t+a=0或t²-t+a-1=0，
當t²-t+a-1=0時，由△=1-4（a-1）=5-4a，
∵a＞2，∴5-4a＜-3＜0，
則方程t²-t+a-1=0無解；
當t²-3t+a=0時，故此方程至少有一個大于1的實根，
又∵函數(shù)f（t）=t²-3t+a的對稱軸t=

3

2

＞1，
∴△=9-4a≥0時，方程t²-3t+a=0至少有一個大于1的實根，
解得a≤

9

4

，
綜上得，實數(shù)a的取值范圍是2＜a≤

9

4

．
故答案為：2＜a≤

9

4

．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)綜合應用，高次代數(shù)式化簡能力，以及轉(zhuǎn)化思想，難度較大，考查了學生靈活利用轉(zhuǎn)化思想分析問題、解決問題的能力，以及數(shù)學基本功-化簡能力．