Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若且，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，對實數(shù)進行分類討論，分析導(dǎo)數(shù)在上的符號變化，進而可得出函數(shù)在其定義域上的單調(diào)區(qū)間；

（2）由題意得不等式對任意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得出，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求得函數(shù)的最大值，然后解不等式即可得出實數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域是.

.

①當，即時，，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

②當，即時，

（i）若，則.

令，得；令，得，

此時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（ii）若，則，則，則.

則對任意恒成立，此時，函數(shù)在上單調(diào)遞減.

綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（2）等價于，即.

令，則.

，

①當時，對任意的恒成立，符合題意；

②當時，令，得或（負根舍去），

令，得；令，得，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

故，

因為，所以，令，則函數(shù)單調(diào)遞增.

又，故由得，得.

綜上，實數(shù)的取值范圍為.