Question

18．函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（2）=$\frac{2}{5}$，
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）用定義法證明f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（2）=$\frac{2}{5}$，求出a，b的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證法一：設(shè)任意-1＜x₁＜x₂＜1，求出f（x₁）-f（x₂），并判斷符號，進而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義得到f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)；
證法二：求導，并分析出當x∈（-1，1）時，f′（x）＞0恒成立，進而得到f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)
（3）不等式f（t-1）+f（t）＜0可化為：-1＜t-1＜-t＜1，解得答案．

解答 （本題滿分15分）
解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{-ax+b}{1+{x}^{2}}$=-$\frac{ax+b}{1+{x}^{2}}$，
∴b=-b，
∴b=0--------------------------------------------（2分）
又∵f（2）=$\frac{2a}{5}$=$\frac{2}{5}$，-------------------------（3分）
∴a=1，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$---------------------------------（5分）
（2）證法一：設(shè)任意-1＜x₁＜x₂＜1，--------------------（6分）
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{1+{{x}_{1}}^{2}}$-$\frac{{x}_{2}}{1+{{x}_{2}}^{2}}$------------------------（7分）
=$\frac{{（{x}_{1}-x}_{2}）（1-{x}_{1}{x}_{2}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$--------------------------------（9分）
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)---------------------（10分）
證法二：∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{1+{x}^{2}}$，
∴f′（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{（1+{x}^{2}）^{2}}$，------------------------（8分）
當x∈（-1，1）時，
f′（x）＞0恒成立，--------------------------------（9分）
∴f（x）在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)---------------------（10分）
（3）：由題意知f（t-1）+f（t）＜0
∴f（t-1）＜-f（t）--------------（11分）
∴f（t-1）＜f（-t）--------------------------------------（12分）
∴-1＜t-1＜-t＜1--------------------------------------（14分）
∴0＜t＜$\frac{1}{2}$---------------------------------------------（15分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．