Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-1|．
（1）當a=3時，求不等式f（x）≥x+3a的解集；
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，1]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值的意義，求得不等式f（x）≥x+3a的解集．
（2）由題意可得，當x∈[0，1]時，|x+a|+|x-1|≤|x-4|恒成立，等價于-3-a≤x≤3-a，根據(jù)-3-a≤0，3-a≥1，求得a的范圍．

解答 解：（1）當a=3時，不等式f（x）≥x+3a，即f（x）≥x+9，
當x≤-3時，由-2x-2≥x+9，解得x≤-$\frac{11}{3}$；
當-3＜x＜1時，由4≥x+9，解得x≤-5，故不等式無解；
當x≥1時，由2x+2≥x+9，解得x≥7．
綜上，f（x）≥x+3a的解集為（-∞，-$\frac{11}{3}$）∪（7，+∞）． …（5分）
（2）若f（x）≤|x-4|的解集包含[0，1]，即當x∈[0，1]時，|x+a|+|x-1|≤|x-4|恒成立，
即|x+a|≤|x-4|-|x-1|恒成立，
等價于-3-a≤x≤3-a．
由題意可得，-3-a≤0，3-a≥1，求得-3≤a≤2，
故滿足條件的a的取值范圍為[-3，2]．…（10分）

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．