Question

12．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（a為常數(shù)），f′（x）是f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）當x＞0時，求證：f（lna+x）＞f（lna-x）；
（Ⅲ）已知f（x）有兩個零點x₁，x₂（x₁＜x₂），求證：${f^/}（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）＜0$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求導，再分類討論，即可求出函數(shù)的單調性，
（Ⅱ）（x）=f（lna+x）-f（lna-x），求導，根據(jù)函數(shù)的單調性即可證明，
（Ⅲ）由（I）知，當a≤0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，設A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，則0＜x₁＜lna＜x₂．由（II）得f（2lna-x₁）=f（lna+lna-x₁）＞f（x₁）=0，再利用函數(shù)的單調性即可證明．

解答 證明：（Ⅰ）∵f′（x）=e^x-a．
當a≤0時，則f′（x）=e^x-a＞0，即f（x）在R上是增函數(shù)，
當a＞0時，由f′（x）=e^x-a=0，得x₀=lna．
當x∈（-∞，x₀）時，f′（x）＜0；當x∈（x₀，+∞）時，f′（x）＞0．
即f（x）在（-∞，lna）上是減函數(shù)，在（lna，+∞）上是增函數(shù)，
（Ⅱ）證明：設g（x）=f（lna+x）-f（lna-x）（x＞0）=[e^lna+x-a（lna+x）]-[e^lna-x-a（lna-x）]=a（e^x-e^-x-2x），
∴g′（x）=a（e^x+e^x-2）≥2a$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-2a=0，
當且僅當x=0時等號成立，但x＞0，
∴g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，所以g（x）＞g（0）=0
∴不等式f（x₀+x）＞f（x₀-x）恒成立．
（Ⅲ）由（I）知，當a≤0時，函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸至多有一個交點，
故a＞0，從而f（x）的最小為f（lna），且f（lna）＜0．
設A（x₁，0），B（x₂，0），0＜x₁＜x₂，則0＜x₁＜lna＜x₂．
由（II）得f（2lna-x₁）=f（lna+lna-x₁）＞f（x₁）=0．
∵2lna-x₁=lna+（lna-x₁）＞lna，x₂＞lna，且f（x）在（lna，+∞）上是增函數(shù)
又f（2lna-x₁）＞0=f（x₂），
∴2lna-x₁＞x₂．于是$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$＜lna，
∵f（x）在（-∞，lna）上減函數(shù)，
∴$f'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜0$．

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調性和最值的關系，關鍵是構造函數(shù)，培養(yǎng)了學生的運算能力和轉化過程，屬于中檔題．