Question

18．對(duì)于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[m，n]⊆D，同時(shí)滿足：
①f（x）在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)；
②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數(shù)的“等域區(qū)間”．
（1）求證：函數(shù)$g（x）=3-\frac{5}{x}$不存在“等域區(qū)間”；
（2）已知函數(shù)$h（x）=\frac{（2a+2）x-1}{{{a^2}x}}$（a∈R，a≠0）有“等域區(qū)間”[m，n]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）該問題是一個(gè)確定性問題，從正面證明有一定的難度，故可采用反證法來進(jìn)行證明，即先假設(shè)區(qū)間[m，n]為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)得到矛盾，進(jìn)而得到假設(shè)不成立，原命題成立．
（2）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集，我們可以用a表示出n-m的取值，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題后，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可以得到答案．

解答 解：（1）證明：設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集．
∵x≠0，∴[m，n]⊆（-∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數(shù)$g（x）=3-\frac{5}{x}$在[m，n]上單調(diào)遞增．
若[m，n]是已知函數(shù)的“等域區(qū)間”，則$\left\{\begin{array}{l}g（m）=m\\ g（n）=n\end{array}\right.$
故m、n是方程$3-\frac{5}{x}=x$的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．
∵x²-3x+5=0無實(shí)數(shù)根，
∴函數(shù)$y=3-\frac{5}{x}$不存在“等域區(qū)間”．
（2）設(shè)[m，n]是已知函數(shù)定義域的子集，
∵x≠0，∴[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數(shù)$h（x）=\frac{（2a+2）x-1}{{{a^2}x}}=\frac{2a+2}{a^2}-\frac{1}{{{a^2}x}}$在[m，n]上單調(diào)遞增．
若[m，n]是已知函數(shù)的“等域區(qū)間”，則$\left\{\begin{array}{l}h（m）=m\\ h（n）=n\end{array}\right.$
故m、n是方程$\frac{2a+2}{a^2}-\frac{1}{{{a^2}x}}=x$，即a²x²-（2a+2）x+1=0的同號(hào)的相異實(shí)數(shù)根．
∵$mn=\frac{1}{a^2}＞0$，∴m，n同號(hào)，故只需△=（-（2a+2））²-4a²=8a+4＞0，
解得$a＞-\frac{1}{2}$，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（-\frac{1}{2}，+∞）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，及確定性問題，要注意建立“正難則反”的思想，選擇反證法來簡化證明過程．屬于難題．