Question

4．已知函數(shù)f（x）=2|x-1|-a，g（x）=-|x+m|（a，m∈R），若關于x的不等式g（x）＞-1的整數(shù)解有且僅有一個值為-3．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的圖象上方，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件解絕對值不等式可得-1-m＜x＜1-m，再根據(jù)不等式的整數(shù)解有且僅有一個值為-3，可得-4≤-1-m＜-3＜1-m≤-2，由此求得m的值．
（Ⅱ）由題意可得2|x-1|+|x+3|＞a對任意x∈R恒成立，利用分段函數(shù)的性質(zhì)求得2|x-1|+|x+3|的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）由g（x）＞-1，即-|x+m|＞-1，|x+m|＜1，∴-1-m＜x＜1-m，
∵不等式的整數(shù)解有且僅有一個值為-3，則-4≤-1-m＜-3＜1-m≤-2，
解得m=3．
（Ⅱ）因為y=f（x）的圖象恒在函數(shù)y=g（x）的圖象上方，故f（x）-g（x）＞0，
∴2|x-1|+|x+3|＞a對任意x∈R恒成立，
設h（x）=2|x-1|+|x+3|，則$h（x）=\left\{{\begin{array}{l}{-3x-1，x≤-3}\\{5-x，-3＜x≤1}\\{3x+1，x＞1}\end{array}}\right.$，
∴h（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增，
∴當x=1時，h（x）取得最小值4，
∴4＞a，
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，4）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，分段函數(shù)的應用，屬于中檔題．