【題目】已知函數(shù)f(x)=tx,(x∈R).
(1)若t=ax+b,a,b∈R,且﹣1≤f(﹣1)≤2,2≤f(1)≤4,求點(a,b)的集合表示的平面區(qū)域的面積;
(2)若t=2+ ,(x<1且x≠0),求函數(shù)f(x)的最大值;
(3)若t=x﹣a﹣3(a∈R),不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f(x)≤a+4(b,c∈R)的解集為[﹣1,5],求b,c的值.
【答案】
(1)解:當(dāng)t=ax+b時,f(x)=ax2+bx,
由﹣1≤f(﹣1)≤2,2≤f(1)≤4,
可得﹣1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4,
由兩平行直線x﹣y=2和x﹣y=﹣1的距離為 ,
兩平行直線x+y=2和x+y=4的距離為 ,
可得點(a,b)的集合表示的平面區(qū)域(矩形)的面積為 × =3
(2)解:若t=2+ ,(x<1且x≠0),
則f(x)=2x+ (x<1且x≠0),
由2x+ =[2(x﹣1)+ ]+2=﹣[2(1﹣x)+ ]+2
≤﹣2 +2=2﹣2 ,
當(dāng)且僅當(dāng)2(1﹣x)= ,即x=1﹣ 時,等號成立,
則函數(shù)的最大值為2﹣2
(3)解:若t=x﹣a﹣3(a∈R),則f(x)=x2﹣(a+3)x,
f(x)≤a+4(b,c∈R)的解集為[﹣1,5],
即x2﹣(a+3)x﹣(a+4)≤0的解集為[﹣1,5],
即﹣1,5為方程x2﹣(a+3)x﹣(a+4)=0的兩根,
可得﹣1+5=a+3,﹣1×5=﹣(a+4),
解得a=1;
再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f(x)≤a+4(b,c∈R)的解集為[﹣1,5],
可得b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f(x)的最小值,
而f(x)=x2﹣4x=(x﹣2)2﹣4的最小值為﹣4,
則b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤﹣4,
即b2+c2﹣bc﹣3b+3≤0,
記g(c)=c2﹣bc+b2﹣3b+3,
則△=b2﹣4(b2﹣3b+3)≥0,
即﹣3(b﹣2)2≥0,但﹣3(b﹣2)2≤0,
則b=2;
即有4+c2﹣2c﹣6+3≤0,
即c2﹣2c+1≤0,即(c﹣1)2≤0,
但(c﹣1)2≥0,
即c=1
【解析】(1)由題意可得﹣1≤a﹣b≤2,2≤a+b≤4,運用點(a,b)的集合表示的平面區(qū)域為矩形,由平行直線間的距離公式,即可得到所求面積;(2)運用基本不等式,注意滿足的條件:一正二定三等,即可得到所求最大值;(3)運用二次不等式的解集,可得對應(yīng)方程的解,運用韋達(dá)定理可得a=1,再由不等式b2+c2﹣bc﹣3b﹣1≤f(x)的最小值,結(jié)合判別式非負(fù),可得b=2,進(jìn)而得到c的不等式,求得c=1.
【考點精析】關(guān)于本題考查的函數(shù)的最值及其幾何意義,需要了解利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲;利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值才能得出正確答案.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)集A={a1 , a2…an}(0≤a1<a2…<an , n≥2)具有性質(zhì)P;對任意的 i,j(1≤i≤j≤n),ai+aj與aj﹣ai兩數(shù)中至少有一個屬于A.
(1)分別判斷數(shù)集{0,1,3,4}與{0,2,3,6}是否具有性質(zhì)P,并說明理由;
(2)證明:a1=0,且nan=2(a1+a2+a+..+an)
(3)當(dāng)n=5時若 a2=2,求集合A.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)是定義在(0,+∞)上的函數(shù),且對任意的正實數(shù)x1 , x2均有:(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]>0,則不等式f(x)﹣f(8x﹣16)>0的解集是( )
A.(0,+∞)
B.(0,2)
C.(2,+∞)
D.(2, )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】求適合下列條件的圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)焦點坐標(biāo)為( ,0),準(zhǔn)線方程為x= 的橢圓;
(2)過點( ,2),漸近線方程為y=±2x的雙曲線.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017江西4月質(zhì)檢】已知橢圓的離心率為,且過點.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點且斜率大于0的直線與橢圓相交于點,,直線,與軸相交于,兩點,求的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax﹣1(a>0,且a≠1),當(dāng)x∈(0,+∞)時,f(x)>0,且函數(shù)g(x)=f(x+1)﹣4的圖象不過第二象限,則a的取值范圍是( )
A.(1,+∞)
B.
C.(1,3]
D.(1,5]
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017廣東佛山二!磕潮kU公司針對企業(yè)職工推出一款意外險產(chǎn)品,每年每人只要交少量保費,發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬元.保險公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種,根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計出三類工種的每賠付頻率如下表(并以此估計賠付概率).
(Ⅰ)根據(jù)規(guī)定,該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤都不得超過保費的20%,試分別確定各類工種每張保單保費的上限;
(Ⅱ)某企業(yè)共有職工20000人,從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖,老板準(zhǔn)備為全體職工每人購買一份此種保險,并以(Ⅰ)中計算的各類保險上限購買,試估計保險公司在這宗交易中的期望利潤.
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【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】某市政府為了引導(dǎo)居民合理用水,決定全面實施階梯水價,階梯水價原則上以住宅(一套住宅為一戶)的月用水量為基準(zhǔn)定價:若用水量不超過12噸時,按4元/噸計算水費;若用水量超過12噸且不超過14噸時,超過12噸部分按6.60元/噸計算水費;若用水量超過14噸時,超過14噸部分按7.80元/噸計算水費.為了了解全市居民月用水量的分布情況,通過抽樣,獲得了100戶居民的月用水量(單位:噸),將數(shù)據(jù)按照分成8組,制成了如圖1所示的頻率分布直方圖.
(Ⅰ)假設(shè)用抽到的100戶居民月用水量作為樣本估計全市的居民用水情況.
(ⅰ)現(xiàn)從全市居民中依次隨機(jī)抽取5戶,求這5戶居民恰好3戶居民的月用水用量都超過12噸的概率;
(ⅱ)試估計全市居民用水價格的期望(精確到0.01);
(Ⅱ)如圖2是該市居民李某2016年1~6月份的月用水費(元)與月份的散點圖,其擬合的線性回歸方程是.若李某2016年1~7月份水費總支出為294.6元,試估計李某7月份的用水噸數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=1,AC=AA1= , ∠ABC=60°.
(1)證明:AB⊥A1C;
(2)求二面角A﹣A1C﹣B的大小.
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