Question

3．已知橢圓x²+2y²=1上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于直線L：y=4x+b對稱，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析 將A，B坐標(biāo)代入橢圓方程，利用作差法，求得直線AB的斜率，由直線AB的斜率為-$\frac{1}{4}$，代入求得AB中點(diǎn)M（x₀，y₀），橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)與m的關(guān)系，代入x²+2y²＜1，即可求得b的取值范圍．

解答 解：∵橢圓x²+2y²=1，焦點(diǎn)在x軸上，
設(shè)橢圓上兩點(diǎn)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）關(guān)于直線y=4x+b對稱，
AB中點(diǎn)為M（x₀，y₀），直線AB的斜率為-$\frac{1}{4}$
則x₁²+2y₁²=1，①
x₂²+2y₂²=1，②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知：x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
即 2x₀•（x₁-x₂）+2•2y₀•（y₁-y₂）=0，
∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$•$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=-$\frac{1}{4}$．
∴y₀=$\frac{1}{2}$x₀，代入直線方程y=4x+b得x₀=-$\frac{2}{7}$b，y₀=-$\frac{1}{7}$b；
∵（x₀，y₀）在橢圓內(nèi)部，
∴$\frac{4^{2}}{49}$+2×$\frac{^{2}}{49}$＜1，即6b²＜49，
解得-$\frac{7\sqrt{6}}{6}$＜b＜$\frac{7\sqrt{6}}{6}$．
實(shí)數(shù)b的取值范圍（-$\frac{7\sqrt{6}}{6}$，$\frac{7\sqrt{6}}{6}$）．

點(diǎn)評 本題考查作差法求弦的直線方程的斜率，點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．