Question

11．設(shè)函數(shù)$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+2a{x^2}-3{a^2}x+\frac{1}{3}a$（0＜a＜1）
（1）若函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[a，2]時(shí)，恒有f（x）≤0成立，試確定a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過(guò)討論a的范圍，得到關(guān)于f（x）的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）在[a，2]的最大值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f'（x）=-x²+4ax-3a²．令f'（x）=-x²+4ax-3a²=0，得x=a或x=3a，
令f′（x）＞0，解得：a＜x＜3a，令f′（x）＜0，解得：x＞3a或x＜a，
故f（x）在（-∞，a）遞減，在（a，3a）遞增，在（3a，+∞）遞減；
（2）由（1）得：f（x）在（a，3a）遞增，在（3a，+∞）遞減；
3a≤2即0＜a＜$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）在[a，3a）遞增，在（3a，2]遞減，
f（x）_^max=f（3a）=$\frac{1}{3}$a≤0，不合題意；
3a≥2即$\frac{2}{3}$≤a＜1時(shí)，f（x）在[a，2]遞增，
f（x）_max=f（2）=-6a²+$\frac{25}{3}$a-$\frac{8}{3}$≤0，
解得：a≥$\frac{8}{9}$，
綜上：a∈[$\frac{8}{9}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．